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une pièce d’une livre
La livre est une unité qui peut désigner :

  • une monnaie, en particulier celle du Royaume-Uni, la livre sterling, dont le symbole est £.
  • une masse dans le système impérial, environ équivalente à 453 grammes, dont le symbole est lb.

Dans les deux cas, les anglophones la désignent par le terme pound.
Ceci nous laisse comme question l’origine des symboles « lb » et « £ » pour une unité appelée pound là où elle est utilisée.

Déjà, pour la livre sterling, le symbole £ provient bien d’un L. Il s’agit du même L que dans le symbole lb.

L’origine de ce L (et même du b) se trouve dans le mot latin libra, qui désignait une unité de masse utilisée dans l’empire Romain. Cette unité a été importée en Angleterre, mais le terme libra a finie disparaître au profit de pound, dérivant de l’expression libra pondo qui signifie « le poids d’une livre ».

Par la suite, la monnaie anglaise a pris le nom de Livre par métonymie : une livre (la monnaie) était à l’époque le coût d’une livre (la masse) d’argent (le métal).

C’est pour cette raison que la livre sterling a aujourd’hui le symbole £, et porte le même nom qu’une unité de masse.

Et concernant le nom de « sterling », l’étymologie est obscure et n’a pas de rapport avec la science, je vous laisse donc lire ça sur Wikipédia.

Références :

Image de Sergio Barbieri

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Mars rover landing airbags
Les airbag sont des sacs qui se remplissent de gaz pour amortir les chocs en cas d’accident. Leur déclenchement est extrêmement rapide : 150 millisecondes, entre le début d’une collision et le sac gonflé ! Sachant que le système centralisé doit en plus détecter l’accident, décider s’il doit déclencher les airbags ou pas (si c’est réellement un accident) et organiser le déploiement des airbags (frontaux, latéraux…).

C’est sur le gonflement des airbag que je vais m’attarder ici : la plupart des airbags sont en effet gonflés par un processus purement chimique qui libère du gaz, et non un système de compresseur, qui serait loin d’être suffisamment rapide.

La réaction qui a lieue doit être rapide et les gaz produits doivent être inertes : un gaz toxique ne ferait pas l’affaire et un gaz combustible ou comburant serait également une mauvaise idée. Un gaz de choix est le diazote, le même gaz qui est naturellement présent dans l’atmosphère à hauteur de 78 %.

Le diazote est produit par réaction de l’azoture de sodium sous l’effet de la chaleur :

$$2\text{NaN}_3 = \text{2Na} + \text{3N}_2$$

Parfois on utilise le nitrate d’ammonium, qui se décompose aussi sous la chaleur mais produit d’autres gaz : du protoxyde d’azote et de l’eau (également des gaz ininflammables et non-toxiques) :

$$\text{NH}_4\text{NO}_3 = \text{N}_2\text{O} + 2\text{H}_2\text{O}$$

L’un des problèmes de ce système encore très utilisé est que ces réactions chimiques sont très exothermiques : ils libèrent beaucoup de chaleur et l’airbag est alors chaud et peut parfois produire des brûlures superficielles.

De nouvelles méthodes existent aujourd’hui : certains systèmes ajoutent désormais une source de gaz liquides (argon, hélium…) qui viennent réduire la température des gaz. On voit aussi des voitures avec une réserve de gaz comprimés qui se vide dans les sac au moment du gonflage (système à gaz froid « cold gas »). En raison de la rapidité nécessaire pour les gonfler, la pression de ces réserves de gaz est conséquente : entre 200 et 1000 bars. Ces dispositifs ont l’inconvénient de pouvoir présenter des fuites, et nécessites un contrôle et un entretien régulier.

Dans les cas où un gonflement rapide des airbags n’est pas important, on utilise des composés (parfois sous pression) qui sont brûlés pour libérer du gaz. C’est le cas par exemple sur les airbags utilisés par le Rover Martien lors de son atterrissage.

Image de Nasa

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mire no signal
(source)

Rien. Le vide. Le « zéro », le « néant ». Quand on y pense, c'est une notion compliquée à comprendre, même en maths.
Les chiffres romains, par exemple, ils n’avait pas de zéro. Les égyptiens n’en avaient pas besoin et les grecs refusaient voire s’interdisaient de s’en servir. Le zéro que l’on utilise aujourd'hui, dans les chiffres arabes, est apparu bien plus tard que les autres autour du IIIe siècle après J.-C.

Le zéro désigne aujourd’hui la quantité d’éléments dans un ensemble vide. Parler de « quantité » dans ce cas n’a pas trop de sens : quand vous faites votre liste de courses, vous mettez « 6 bouteilles de lait, 2 pains… » mais vous n’indiquez pas tous les articles dont il vous faut zéro de chaque. Avoir zéro objets revient donc à ne pas avoir de ces objets, mais également de nier la quantité elle-même.
Il n’y a pas de piège ici pour « zéro » : ce n’est que sa définition et ce à quoi il sert.

On peut noter que cette définition du zéro et de l’ensemble vide nous fait parvenir un concept intéressant : le vide.

C’est quoi le vide ? C’est quoi « rien » ?
Pour essayer de comprendre et de répondre à cette question, on peut tourner le problème dans l’autre sens.

« Rien », par définition, c’est l’absence de toutes les choses. Il faut donc, pour n’avoir plus rien, définir ce qu’on entend par « les choses », puis s’en affranchir.
Et là ça devient très intéressant car le concept de « chose » dépend du contexte. Vous allez comprendre.

Selon Lord Kelvin (1824‑1907), « le vide est ce qui reste quand tout ce qui peut être retiré, a été retiré ».
Si l’on parle d’une bibliothèque, alors les choses sont les livres. Lorsque l’on retire les livres, alors la bibliothèque est vide. Le bibliothécaire a donc créé un vide à ses yeux.

Maintenant si on dit que les choses sont des atomes, alors l’armoire de bibliothèque, n’est plus vide : il est rempli d’air !

Ok, donc si on place l’armoire de bibliothèque dans le vide sidéral, il n’y aura plus d’air.
Là elle sera vide, non ?

Et bien… encore une fois, en cherchant on peut trouver des choses : de l’énergie, des photons, des neutrinos…

Si vous avez compris ce raisonnement, alors vous avez compris le problème : le néant, le vide n’est définit que par ce que l’on considère.

C’est sur cet aspect là des choses que je vais tenter de m’attarder : jusqu’où peut-on aller pour atteindre quelque chose qui est véritablement « rien du tout » ?

Dans le vide

Dans le vide de l’espace, malgré le nom « le vide », il y a plein de choses, y compris quelques atomes !

Dans l’atmosphère terrestre, le libre parcourt moyen d’un atome (distance qu’une particule peut parcourir avant de heurter une autre particule) est de 10 nanomètres.
Dans le vide intersidéral, le libre parcourt moyen est supérieur à 10 000 km. Ça peut sembler beaucoup (ou très vide) mais il reste tout de même environ $10$ atomes par décimètre cube. Le vide n’est donc pas si vide que ça.

Imaginons qu’on arrive à vider le vide plus que le vide n’est lui-même vide ; en gros, si on retire tous les atomes, il reste quoi ?

Dans le vide, sans les atomes

Si on va sur la station spatiale internationale (ISS), qu’on sort dehors, qu’on prend un bol de vide et qu’on retire tous les atomes, alors il reste plein de choses. Le Soleil nous envoie des flux de rayonnement : des particules chargées (protons, électrons…) à très haute vitesse : on en trouve beaucoup dans l’espace (suffisamment pour qu’une fraction d’entre elles produise les aurores polaires visibles sur Terre). On trouve aussi quelques neutrinos émis par le Soleil : 65 milliards de neutrinos traversent chaque centimètre cube de l’espace chaque seconde. Le vide, disions-nous ?

Dans le vide, sans les protons et les neutrinos

Ok, donc on a retiré les 10 atomes par litre et les 65 milliards de neutrinos par cm³. Il reste quoi ?

Le vide n’est pas infiniment froid : il est à 2,725 Kelvin au dessus du zéro absolu, soit à −270,425 °C. Cette température trahit ce qui reste du Big Bang. À cause de l’expansion de l’univers, ce dernier s’est peu à peu refroidit, jusqu’à 2,725 K aujourd’hui.

Selon la thermodynamique, tout corps noir chauffé à une certaine température émet des rayonnements, et inversement, tout corps qui émet un rayonnement de corps noir a une température. On observe ce rayonnement, c’est le rayonnement diffus cosmologique, et des mesures permettent d’en déduire que l’univers est à 2,725 Kelvin en moyenne.

Ces photons ayant été émis à haute température lors du Big Bang, ils ont refroidit à force de l’expansion de l’univers : la longueur d’onde de ces photons s’est elle aussi étirée et l’univers s’est refroidit.
Une des hypothèses pour l’avenir est que l’univers va tendre de façon asymptotique vers une température de 0 K. Ce sera comme si les photons du fond diffus cosmologique n’étaient plus là non plus.

Donc si y a plus de photons dans le vide, on a le vide ?

Et non ! Il reste quand même des choses…

Et la matière noire ?

En dehors de nos particules de matière et des photons, on sait que 80% de la gravitation de l’univers est d’origine inconnue. On ne sait pas si elle est la conséquence de la présence d'une véritable matière, mais on appelle « matière noire » la source de cette gravité inconnue.
L’idée d’une particule pour la matière noire semblerait assez logique (même si elle son existence n’est pas prouvée à ce jour). Il faudrait donc la retirer aussi, dans notre quête du vide parfait.

Je ne peux en dire plus pour la matière noire, tout simplement parce qu’elle constitue encore aujourd’hui un grand mystère pour la science…

Quoi qu’il en soit, sautons ce « détail » et passons à un vide sans matière, noire ou pas, quelle qu’elle soit, donc.

Le vide quantique

Si on est dans l’espace et qu’on retire toutes les particules et tous les photons, il ne reste plus rien… Mais ce n’est pas pour ça qu’il ne se passe plus rien !

Si des particules ne s’y propagent plus, on trouve toujours des champs : le champ électromagnétique, le champ de gravitation, etc.
En fait, quantiquement parlant, une masse représente une excitation du champ de gravitation ; un aimant ou une charge électrique représente une excitation du champ électromagnétique. À l’inverse, loin d’une masse ou d’un aimant, ces champs sont au repos.

Mais même sans masse ou aimant, ces champs ne sont pas 100% au repos : il y a des fluctuations, comme il y a toujours quelques petites vagues à la surface d’une étendue d’eau calme.

Si l’on reprend notre analogie de l’étendue d’eau et des micro-vagues à sa surface, on voit des bosses et des creux. Dans notre champ quantique, on peut voir les fluctuations comme des particules de matière et d’anti-matière respectivement. Le vide crée et détruit des couples de particules/anti-particule, de façon incessante.

On appelle ces fluctuations les fluctuations quantique du vide. Elles sont toujours là et sont prévues par la physique quantique.

Ok, poursuivons et faisons comme si on pouvait se passer de ces fluctuations du vide.

L’énergie de point zéro

Imaginons que les champs quantiques soient nuls, sans fluctuations ni formation de paires particule/anti-particule. Que reste-t-il ? Il reste l’énergie du point zéro.

L’énergie du point zéro, c’est l’énergie possédée par un système quantique dans son état fondamental (son état d’énergie le plus bas possible). L’état fondamental d’un système ne correspond pas à une énergie nulle, que l’on qualifierait en physique classique de « égale à zéro » : au contraire, il correspond juste à un niveau de référence sous lequel on ne peut pas aller. C’est donc le dernier barreau d’une échelle : on ne peut pas descendre plus bas, mais ce n’est pas pour ça qu’on n’est pas en hauteur.

Pour notre énergie du point zéro, l’univers serait ainsi un « océan d’énergie » dont nous ne pouvons exploiter que la force des fluctuations à la surface, sans pouvoir puiser dessous.
En retirant les fluctuations quantique « à la surface », ce qui reste est une « mer » complètement calme : l’énergie du point zéro.

Jusqu’à maintenant, nous avons retiré les objets solides, les gaz, les atomes et les particules isolées, la matière noire, les fluctuations quantiques, pour se retrouver avec seulement l’énergie du point zéro, cet océan d’énergie qui constitue le niveau d’énergie fondamental du vide.

Retirons-la.

Les champs quantiques

On se retrouve maintenant avec une énergie de point zéro totalement nulle : plus d’énergie, du tout. Notre univers ne contiendrait plus rien physiquement. A-t-on atteint le vide ? Non, pas tout à fait.

Si physiquement il ne reste plus d’énergie ni de particules ni rien, mathématiquement il est encore possible de décrire un tel vide.

On peut en effet parler des champs quantiques eux-mêmes : un champ quantique, même-vide, reste un champ quantique. Il est juste nul.
C’est comme si on avait une feuille avec un graphique et une courbe : si on retirait la courbe : il resterait alors l’échelle, le repère et le bout de papier : ce n'est pas rien.

Le champ de gravitation ou le champ électromagnétique sont des champs quantiques. Ils seront là même en l’absence de masse ou d’un aimant.

Ok, retirons les champs quantiques alors et poursuivons.

Les dimensions

Un univers sans les champs quantiques ne ferait pas grand chose.

Si vous placez un aimant et que vous supprimez le champ magnétique de l’univers, alors l’aimant sera juste un bout de métal ordinaire, sans aucune propriété particulière : pas d’attraction sur les autres aimants : juste un morceau de métal inerte.

Que reste-il sans ces champs quantique ? Il reste les dimensions : le haut, le bas, le devant, le derrière… On pourrait toujours se promener et se repérer dans l’univers. Les coordonnées de l’espace et du temps sont toujours là, elles.
La définition d’un tel « vide » n’est plus que mathématique, on est d’accord, mais ça suffit pour pouvoir le définir.

Il faut donc supprimer les dimensions aussi…

Le néant absolu ?

Il ne nous reste plus rien : plus de particules, plus d’énergie. On a même retiré l’énergie du vide et les dimensions spatiales et temporelles.

Un tel objet, si on voulait le décrire, serait un objet sans aucune dimension spatiale, donc un point. Il n’aurait pas non plus de dimension temporelle : il serait un simple point dans le temps, sans durée de vie. Ce serait juste un événement ponctuel, petit et court à l'infini, et ne contenant aucune énergie ou matière.

Il se trouve que la physique quantique définit l’espace et le temps comme une suite d’instants et de longueurs. Les instants les plus petits possibles sont le temps de Planck ($5,39×10^{−39} s$) et les distances les plus petites possibles sont celles de la longueur de Planck ($1,62×10^{−35} m$).
Avec ce modèle théorique, on suppose que rien ne peut être plus court dans le temps ou plus petit dans l’espace que le temps et la longueur de Planck.

Le vrai vide selon moi, serait donc quelque chose qui décrit ce qui se passe à un niveau plus petit que ça : rien ne peut se produire, se trouver ou simplement « être » à ce niveau. Un objet (imaginaire) aussi petit serait donc le vide, le néant absolu, où il n’y a rien, même pas de dimensions ou de durées et encore moins de particules ou d’énergie.

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un satellite
Le système GPS permet de se situer où qu’on soit dans le monde.

Le GPS fonctionne avec une constellation de 30 satellites en orbite autour de la Terre. Chaque satellite envoie sur Terre des signaux qui comportent :

  • la position dans l’espace du satellite
  • l’heure et la date d’émission du signal

Votre puce GPS, qu’elle soit contenue dans un smartphone ou un boîtier GPS, se contente de capter ces signaux.
Quand votre appareil a reçu les signaux d’un minimum de 4 satellites, il est alors en mesure de calculer sa propre latitude, longitude et altitude, et donc de vous dire où vous êtes.

Comment ça fonctionne ?

Le positionnement GPS fonctionne grâce à un moyen que vous connaissez sûrement : la trilatération (similaire à la triangulation, mais n’utilisant qu’un calcul de distances, sans calcul d’angles).

Dans ce qui suit, pour simplifier, on se place dans le plan, et non dans l’espace : ça simplifie les dessins mais le principe reste parfaitement identique dans les deux cas.

Imaginons que le boîtier reçoive le signal d’un premier satellite. Il connaît la date d’émission du signal et la date de réception : il connaît donc la durée de parcourt du signal. Le signal voyageant à la vitesse de la lumière, on en déduit qu’on se trouve à une distance $d$ du satellite. Autrement dit, sur un cercle centré sur celui-ci :

sur un cercle autour du satellite
Ajoutons un second signal, provenant d’un second satellite :

sur deux cercles de deux satellites
On sait désormais qu’on se trouve en même temps sur les deux cercles, autrement dit, sur l’un des points où les cercles se coupent.
Pour savoir lequel, il nous faut le signal d’un troisième satellite :

sur trois cercles de trois satellites
Maintenant, il n’y a plus qu’un seul point qui se trouve à la bonne distance des 3 satellites à la fois : il correspond à notre position.

Dans le cas réel, on se trouve dans l’espace, pas dans un plan. On utilise donc des sphères à la place des cercles : à l’intersection de deux sphères correspond à un cercle, et l’intersection de 3 sphères correspond à deux points. En théorie il nous faut donc un quatrième satellite pour savoir où on se trouve.
En pratique on élimine l’un des deux points car il ne se trouve pas sur Terre mais à une position absurde (à l’extérieur de la constellation des satellites GPS ou dans les profondeurs de la Terre, par exemple). Trois satellites suffiraient donc pour connaître notre position sur le globe.

Cependant, pour la synchronisation de l’horloge du boîtier GPS, il faut la précision d’une horloge atomique. Votre boîtier GPS et votre téléphone n’en ont évidemment pas. Ils vont donc utiliser l’horodatage produite par une horloge atomique à bord d’un quatrième satellite.
Pour pouvoir utiliser le GPS, il faut donc un minium de quatre satellites : trois pour la position, et un supplémentaire pour la synchronisation.

La nécessité des horloges atomiques vient du fait qu’on cherche à avoir une précision très importante sur la position : de l’ordre de quelques mètres sur la surface de la Terre. Il faut donc une très grande précision dans les informations transmises à votre boîtier GPS. Pour donner une idée : une différence d’une microseconde correspond à une erreur de 300 mètres sur la position !

Mieux, la précision demandée est telle que des phénomènes relativistes (d’habitude négligées) sont à corriger !
Il y en a deux principaux :

  • le premier est dû à la vitesse de déplacement très grande (14 000 km/h) des satellites : leurs référentiels de temps et d’espace sont différents du nôtre (sur Terre). Leurs horloges sont ainsi retardées de 7 µs par jour.
  • le second provient la différence dans le champ gravitationnel terrestre auquel les satellites sont soumis, du fait de leur altitude élevée (20 200 km). La relativité implique que l’écoulement du temps est accéléré si le champ gravitationnel diminue. On parle ici de 45 µs par jour pour le satellite.

Ces deux effets cumulés produisent donc un décalage de 38 µs quotidiennement (+45−7=38 µs). Ça semble peu, mais ça suffit à induire une erreur sur la position du satellite supérieure à 11 km.
Les corrections relativistes sont donc à compenser pour que le système GPS soit fonctionnel. Il s’agit là également d’un élément de preuve que la théorie d’Einstein fonctionne : la désynchronisation mesurée sur les horloges en orbitent sont conformes aux prédictions théoriques, et si ces erreurs n’avaient pas été prises en compte (si on avait utilisé un système sans corrections), les système GPS serait déréglé et inopérant.

Enfin, pour terminer, ajoutons que le système GPS est américain et est géré par le département de la défense des USA. L’usage de ce système par tous les autres pays que les États-Unis est souvent considéré comme une dépendance qui ne plaît pas toujours (pour des raisons géopolitiques). Ainsi, différents états prévoient leur propres système de positionnement par satellite :

  • La Russie a son système Glonass ;
  • L’Europe met actuellement en place les satellites du système Galileo.
  • La Chine a son système Beidu
  • L’Inde et le Japon ont également en projet leur système régional.

image d’illustration de la AIRS/Nasa

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Question : pour faire rouler une balle sur une rampe, quelle forme doit avoir cette rampe pour que la descente par simple gravité soit la plus rapide ? (On exclu les forces de frottements.)

quelle courbe est le plus rapide ?
On aurait tendance à dire que la rampe doit prendre une forme de ligne droite : c’est le chemin le plus court, donc intuitivement aussi le plus rapide.

Un contre-exemple simple permet de montrer que ce n’est pas le cas. Regardons la trajectoire que je propose, en rouge ci-dessous :

la ligne droite n’est pas la plus rapide
Dans le cas de la ligne droite (en noir), la vitesse est acquise progressivement. En effet, l’énergie cinétique est obtenue par conversion de l’énergie potentielle de position grâce à la force de gravité. L’acquisition de vitesse dans ce cas là est donc progressive. La vitesse initiale $V_i$ est nulle. La vitesse maximale $V_{\text{max}}$ est atteinte seulement à la fin. La vitesse moyenne sur le trajet est donc $\frac{V_{\text{max}}}{2}$ : la moitié de la vitesse maximale. Ce n’est pas mal, mais il y a mieux.

Pour ma solution (courbe rouge), le raisonnement est le suivant.
Dès lors qu’on néglige les frottements, si le ballon est sur le plat, il conserve sa vitesse tant qu’il ne rencontre pas d’obstacles. L’idéal selon moi est donc d’acquérir toute la vitesse au départ : le trajet en entier est donc parcouru à la vitesse $V_{\text{max}}$. La vitesse moyenne est égale à $V_{\text{max}}$ et on arrive à destination deux fois plus vite.

On peut pousser l’astuce encore plus loin en descendant la courbe à une altitude plus basse que le point d’arrivée. On parcourt alors l’essentiel du trajet à grande vitesse et ont finit par remonter à la fin. Cela fonctionnerait, mais il y a une limite. En effet, en plus de la durée du trajet, il faut tenir compte de la durée de descente et de remontée : durant ces phases, on n’avance pas. Si on choisit de tomber vraiment très bas pour avoir vraiment beaucoup de vitesse, il arrivera à un moment où la phase de chute prendra plus de temps que sur la ligne droite simple.

Il y a nécessité de trouver un compromis : une courbe permettant de descendre assez vite pour prendre de la vitesse tout en avançant dans la direction du point d’arrivée pour ne pas perdre trop de temps.

Ce problème de détermination de la courbe idéale pour le déplacement d’une masse le long d’une courbe est un problème mathématique célèbre appelé problème de la courbe brachistochrone (du grec brakhistos, « le plus court » et chronos, « temps »).

Le problème a été étudié dès le XVIIe siècle par Jean Bernoulli, son frère Jacques (les Bernoulli étaient une grande famille de scientifiques : leur nom est très connu, mais ce n’est pas toujours à la même personne que l’on réfère) et même Isaac Newton.

Sa solution de Jean Bernoulli (que je ne vais pas démontrer ici, mais vous pouvez la voir sur Wikipédia) est une courbe bien particulière : une cycloïde.

La cycloïde est une courbe qui représente par exemple le trajet d’une valve de roue de vélo (attention, ne vous y méprenez pas : ce n’est pas un arc de cercle) :

une cycloïde
La courbe de cycloïde utilisée pour notre problème passe donc par le point d’arrivée et le point de départ. Le rayon de la cycloïde est déterminé à partir de la distance entre les deux points :

cycloïde et ballon
Il y a une infinité de possibilités de faire rouler le ballon entre le point de départ et d’arrivée, mais celle qui permet d’aller le plus rapidement est l’arc de cycloïde. Avec une animation :

i
(source)

Dans la réalité, bien-sûr, il faut tenir en compte des frottements (du ballon sur la route, résistance de l’air…) et ça devient un peu compliqué : en général, la forme générale de la courbe est la même, mais la pente est plus accentuée au début et un peu moins à la fin, afin de gagner un peu plus de vitesse au départ pour compenser les frottements sur tout le trajet. C’est dans tous les cas plus près d’une cycloïde que de toute autre courbe.

Conclusions

Je pense qu’il y a deux leçons à tirer de tout ça.

Premièrement, celle écrite dans le titre : le chemin le plus court n’est pas toujours le chemin le plus rapide.
C’est tout bête, mais cette notion (j’y reviendrai dans d’autres articles) devient très intéressante quand on utilise la relativité d’Einstein où l’espace et le temps ne forment plus qu’un : l’espace-temps. On se retrouve alors à discuter de choses profondes telles que : « plus on va se déplace vite dans l’espace, plus on se déplace lentement dans le temps ».

Et deuxièmement, on le voit sur la cycloïde : une partie de la courbe est située en dessous du point d’arrivé : la balle est descendue plus bas qu’elle ne devrait, simplement pour gagner de la vitesse et avoir assez d’élan pour pouvoir remonter rapidement. Je le vois comme un rappel qu’il faut parfois accepter de descendre un peu pour pouvoir remonter de plus belle.
Cette leçon est prouvée ici avec un ballon qui descend une pente, mais elle est applicable à bien des choses. Je vous laisse méditer par vous même.

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