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Le paradoxe de la dichotomie est un paradoxe qui existe depuis la Grèce antique sur les distances.

Pour le comprendre, imaginez que vous êtes à 8 mètres d’un arbre et que allez vers cet arbre à la vitesse d’un mètre chaque seconde. Fatalement, vous aurez d’abord parcouru la première moitié du parcourt, c’est à dire 4 mètres en 4 secondes. Puis vous parcourez la moitié du chemin restant, c’est à dire 2 mètres en 2 secondes. Puis vous parcourez encore la moitié de ce qu’il reste, donc 1 mètre en 1 seconde, et ainsi de suite : ensuite 1/2 mètre en 1/2 seconde, 1/4 m, 1/8 m, 1/16 m… des chemins de plus en plus petits, qui prendront tous une certaine durée, à chaque fois de plus en plus petites aussi.

Si on considère qu’à chaque fois la première moitié est parcourue avant la seconde moitié, et qu’il y a une infinité de trajets d’une durée non nulle, alors vous trouverez que vous n’atteindrez jamais l’arbre !

En quoi est-ce un paradoxe ?
Parce que si vous essayez par vous même dans le jardin, vous verrez que vous arriverez sans problèmes à atteindre votre arbre et en un temps tout à fait fini !

Mathématiquement, la mise bout à bout des durées de plus en plus petites se traduit par une série géométrique de raison 1/2. Le 8 est là car la distance entre vous et l’arbre est de 8 mètres, et que c’est cette distance que l’on divise :

$$S = 8 \times \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^{k+1}} = 8 \times \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{2^{n+1}} \right)$$

Et en calculant la convergence de la suite associée (avec la règle de d’Alembert par exemple) on trouve que la suite converge ; et en étudiant la limite, on voit bien que la limite en l’infinie est égale à 8 :

$$\lim_{n \to \infty} S = \lim_{n \to \infty} 8 \times \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^{k+1}} = 8$$

Cela signifie donc qu’un trajet fini peut être divisé en une infinité de morceaux, sans que ça ne nous prenne une infinité de temps pour le parcourir. En fait, il nous faudrait seulement 8 secondes pour aller jusqu’à l’arbre.

Néanmoins, ça répond pas au paradoxe : vous aurez toujours une infinité des morceaux de chemins à parcourir en un temps fini… Comment expliquer cela ?
Et bien… On ne peut pas l’expliquer. Le truc en fait, c’est que l’utilisation de la décomposition en une suite de termes n’est pas du tout appropriée pour décrire le problème.

Il faut bien voir une chose : les maths, les équations et la physique sont là pour modéliser les phénomènes que l’on rencontre dans la nature. Cela se passe dans ce sens et pas dans l’autre : si j’écrivais une équation, alors la nature ne changera pas pour autant pour suivre l’équation.
Lorsque l’on constate qu’une modélisation mathématique génère un paradoxe avec l’observation (ici, marcher jusqu’à un arbre ne prend pas un temps infini), alors ça ne sert à rien de contester les faits : il faut changer la modélisation mathématique employée.

Ici, on constate aisément que marcher jusqu’à un arbre ne prend pas un temps infini, comme le suggère la théorie employée (à première vue seulement : car on voir bien que la suitre converge). Il faut donc changer la théorie.
Au lieu d’utiliser une décomposition infinie du chemin pour calculer le temps que l’on met à aller jusqu’à l’arbre, on préférera par exemple utiliser la théorie de la vitesse :

$$ temps = \frac{distance}{vitesse}$$

Ici, le trajet est le même, mais le problème est pris autrement, d’une manière qui ne génère aucun effet secondaire paradoxal.

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Kaito a dit :

Cela suppose que l'on peut diviser le temps et l'espace indéfiniment, or ce n'est pas le cas. On l'a déjà observé avec le temps de Planck, plus petite intervalle de temps mesurable.

Pour les distances il y a la longueur de Planck, elle aussi finie. Ainsi à force de diviser la distance qu'il nous reste jusqu'à l'arbre (et donc le temps nécessaire pour parcourir cette distance) on finira inévitablement par tomber sur l'un ou sur l'autre. Ne pouvant diviser encore la distance/le temps restant(e), on la traverse d'une traite. Fin du paradoxe.

H.S. Le fait que le temps et l'espace ne puisse être découpé en plus petites portions que la longueur et le temps de Planck amènent certains scientifique à supposer que l'on vit dans un univers simulé à la Matrix car le propre de tout univers simulé est d'avoir une résolution spatiale et temporelle finie.

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TD a dit :
Astuce pour LaTeX : en mode mathématiques (c'est à dire avec MathJax), tu peux insérer du texte avec la commande \text. Ta dernière formule s'écrirait donc :

\text{temps}=\frac{\text{distance}}{\text{vitesse}}

Résultat :

$$\text{temps}=\frac{\text{distance}}{\text{vitesse}}$$
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TD a dit :

(Bon, ça marchait dans l'aperçu.)

Excellent article, surtout sa conclusion. En physique, les mathématiques ne sont qu'un outil. On peut faire de la physique sans maths car c'est l'observation qui prime.

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Quentin Ligier a dit :

La notation mathématique me gêne pour plusieurs raisons : la somme porte sur les 1/2^n et non 1/2^(n+1) (ou il aurait fallu faire partir la somme de 0). Concernant la limite, elle est inutile car la somme est déjà infinie. De plus, il aurait fallu utiliser deux variables différentes pour la limite et la somme (l'expression n'a pas de sens sinon).

@Kaito : Très intéressants, ces longueur et distance de Planck. La physique peut donc résoudre ce paradoxe.

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Flo a dit :

Oui il y a confusion dans les notations comme le dit Quentin. Une série est déjà une limite.
Soit on met : S = \sum_{n>1} ... = 8
Soit on met : lim_{n\rightarrow \infty} S_n = lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n ... = 8 (là S_n est une suite)

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Le Hollandais Volant a dit :

@Kaito : oui, exacte, mais c’est pas vraiment ce qu’on veut montrer ici :)

@Quentin Ligier : exact aussi, j’avais changé en cours de route (partir de 1 et mettre 2^n puis partir de 0). Je corrige.

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Flo a dit :

@Le Hollandais Volant : c'est toujours incorrect, ce n'est pas la limite quand n tend vers l'infini de la somme de n à l'infini, mais la limite quand n tend vers l'infini de la somme de k à n. Ou enlève juste le symbole lim, une série est déjà une limite.

Et pour la 1e expression aussi, c'est S et non Sn, la somme ne peut pas dépendre de n puisque c'est une variable muette.

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Le Hollandais Volant a dit :

@Flo : ça devrait être ok là.

Pour la première, j’ai remis Sn du coup. Si je mets S, à quoi me sert la limite dans la 2 ?
Édit : nan, c’est bon, je vois maintenant :)

(j’espère que c’est ok là…)

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Quentin Ligier a dit :

@Le Hollandais Volant : Encore un "n" à supprimer dans la seconde (limite de S et non Sn) et ça sera parfait.

L'excellente chaine youtube Numberphile en a fait une vidéo avec la preuve mathématique. C'est en anglais mais très facilement compréhensible.

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toufalk a dit :

Ca me fait penser à l'histoire de la mouche :

Deux trains sont sur la même voie de chemin de fer, une belle ligne droite. Ils vont l'un vers l'autre, chacun à la vitesse de 100km/h. Initialement, ils sont à 200km l'un de l'autre. A cet instant précis, une mouche quitte le premier train et part en direction du deuxième à 150km/h. Une fois arrivée au deuxième train, elle fait demi-tour pour rejoindre le premier train, toujours à 150km/h, puis demi-tour... et ainsi de suite jusqu'au crash des deux trains.
Question : Quelle distance aura parcourue avant de mourir ?
Question bonus : Quelle substance a pris la mouche pour aller à cette vitesse ?

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Le Hollandais Volant a dit :

@toufalk : La réponse est assez simple à trouver, si on prend le problème par le bon côté (je connais l’histoire en fait).
C’est en effet le même principe que l’article :p

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toufalk a dit :

@Le Hollandais Volant : J'avoue que la première fois, je m'suis remonté les manches et, en brave élève de prépa bien bourin, j'ai commencé sommer...

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Grob' a dit :

je trouve absolument fausse ceci :

Néanmoins, ça répond pas au paradoxe : vous aurez toujours une infinité des morceaux de chemins à parcourir en un temps fini… Comment expliquer cela ?
Et bien… On ne peut pas l’expliquer. Le truc en fait, c’est que l’utilisation de la décomposition en une suite de termes n’est pas du tout appropriée pour décrire le problème.

Il faut bien voir une chose : les maths, les équations et la physique sont là pour modéliser les phénomènes que l’on rencontre dans la nature. Cela se passe dans ce sens et pas dans l’autre : si j’écrivais une équation, alors la nature ne changera pas pour autant pour suivre l’équation.
Lorsque l’on constate qu’une modélisation mathématique génère un paradoxe avec l’observation (ici, marcher jusqu’à un arbre ne prend pas un temps infini), alors ça ne sert à rien de contester les faits : il faut changer la modélisation mathématique employée.

Le réel problème qui fait que l'on pense que c'est un paradoxe (mathématiquement parlant), c'est le "il y a une infinité de trajets d’une durée non nulle"

En fait quand on lit ça on suppose qu'il y a un réel strictement positif qui minore tous les petits bouts de trajets. Si c'était le cas, alors on aurait bien quelque chose de non nul que l'on multiplie par l'infini, ce qui donnerait l'infini.

Cependant, ici, ce n'est pas le cas, puisqu'à la fois la distance que l'on parcourt et le temps que l'on met à parcourir tendent vers 0. On a donc une forme indéterminée de type zéro fois l'infini...

En fait, quand on écrit " infinité des morceaux de chemins à parcourir en un temps fini", on peut aussi écrire " infinité des morceaux de chemins à parcourir en une infinité de temps finis" ou bien "chemin fini à parcourir en une infinité de temps finis".


Ainsi, il n'y a aucun paradoxe mathématique...

Comme souvent, on prend quelque chose de simple, que l'on ramène à quelque chose de compliqué, on y fait apparaître quelque chose de contre intuitif et on dit que c'est faux... Alors que c'est parfaitement vrai.


Un peu plus mathématiquement, si l'on sépare les 8 mètres en une "somme infinie de chemins non nuls", et qu'ensuite on s'intéresse à "Combien de temps je mets pour faire chaque petit bout de chemin ?", puis qu'on fait la somme des temps passés pour chaque petit bout de chemin, on retrouve une autre somme de série (qui en fait est la même) qui elle aussi converge, et donc on peut calculer le temps total pour aller jusqu'à l'arbre en passant par les séries pour se rendre compte que le temps total est de... 8 secondes.



La seule modélisation mathématique présente ici c'est de mettre des nombres sur des vitesses/distances/temps. Après, quand on joue mal au matheux et qu'on fait n'importe quoi, on a l'impression que c'est faux, mais ça ne l'est pas.
Ce n'est donc pas "une modélisation mathématique qui ne marche pas", c'est une modélisation mathématique suivie par des calculs suffisamment poussés pour qu'on n'y comprenne plus rien et qu'on pense que ça soit faux.


J'espère avoir réussi à me faire comprendre ^^

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Le Hollandais Volant a dit :

Oui je vois ce que tu veux dire : le raisonnement de « la somme infinie donne une distances finie » devrait également être appliquée sur le temps « une somme infinie de durées donne ici une durée totale finie », et à la fin, on retombe bien sur nos pattes : tout concorde, il n’y a pas de vitesse de déplacement infiniment lente ou rapide, mais bien constante ; les fractions de durées sont les mêmes que les fractions de distance.

Donc en fait, oui on peut l’explique (je vais retirer mon « Et bien… On ne peut pas l’expliquer » du coup)

Mais c’est là que vient la suite de ce que j’écris et ce que tu cites : décomposer le temps et l’espace en une suite infinie de termes, c’est perdre son temps. Pour un problème donné, il y a peut-être cinquante-mille solutions, mais il n’y en aura toujours certaines qui sortiront du lot par leur simplicité et leur rapidité par rapport à d’autre.
Et ici, la méthode la plus rapide c’est la méthode de t = d/v et non pas la méthode mathématique compliquée et inadaptée.

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john doe a dit :

Je vois pas pourquoi ce serait un paradoxe, il y aurait paradoxe si la série des instants divergeait mais pas celle de la position. Or ici la série converge


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