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Un peu dans la suite de l’article que les équations de Maxwell, je vais tenter d’expliquer à quoi correspondent les dérivés utilisés en math et apprises au lycée.

Les fonctions

Déjà, commençons par expliquer ce qu’est une fonction.
Une fonction $f(x)$ sert à appliquer une opération $f$ sur un nombre $x$ et on obtient un autre nombre $f(x)$ en résultat.

C’est utile quand vous voulez appliquer la même opération sur toute une série de nombres. Admettons en effet que nous ayons une liste de nombres {1, 2, 3, …, 99, 100} et qu’on veut prendre le triple et ajouter 2 à chacun d’eux.
Au lieu d’écrire le calcul à chaque fois, on va créer une fonction qui à n’importe quel nombre « $x$ » va appliquer le triple et va ajouter 2 : $$f(x) = 3\times{x}+2$$

Ainsi, pour le nombre 42, on aura : $f(42) = 3\times{42}+2$ ce qui est égal à $128$.

Les fonctions sont très pratiques sur un ordinateur ou une calculatrice programmable : il suffit d’y entrer la fonction et de lui dire de calculer $f(42)$ et il sortira directement le résultat. C’est encore plus pratique si notre fonction est compliquée ou longue à taper à chaque fois et qu’on a beaucoup de nombres à calculer.

Représenter une fonction

Bon, on a une fonction.
On peut avoir envie d’avoir une représentation graphique : une courbe, pour avoir une visualisation de la fonction.

Par exemple, pour la fonction $g(x) = -3{x^3} + 5x^2 + 5$

En traçant la valeur de $g(x)$ pour chaque valeur de $x$ entre −1 et 2 on obtient cette courbe :

g(x) = −3{x^3} + 5x^2 + 5
En regardant la courbe, on peut remarquer comment elle varie.
Si on décrit ça, on peut voir ceci (en partant de la gauche et en allant vers la droite) :

  1. la courbe descend beaucoup au début
  2. la courbe descend plus lentement
  3. puis elle remonte un peu
  4. puis ça redescend un peu
  5. enfin, la courbe plonge vers le bas.

On peut essayer de traduire cela numériquement, en prenant les règles suivantes :

  • si la courbe descend, on met un nombre négatif ;
  • si la courbe est stationnaire, on met zéro ;
  • si la courbe monte on met un nombre positif.

On obtient quelque chose comme ça :

les variations de la fonction
On peut mettre des valeurs numériques sur ça :

  1. la courbe descend beaucoup au début : on met −3
  2. la descente diminue un peu : on met −1
  3. puis elle remonte un peu : on met +1
  4. puis ça redescend un peu : on met −1
  5. enfin, la courbe plonge vers le bas : on met −3.

On peut se demander alors : existe-t-il une autre fonction qui possède les valeurs qu’on a mis ici ? Une fonction qui soit à −3, puis −1, puis +1, puis −1, puis −3 ?

Cette fonction existe. On peut la représenter :

tracé des variations
En bleu, on retrouve nos valeurs −3, −1, +1, −1 et −3.
En noir, c’est une courbe qui passe à peu près vers ces valeurs.

Et bien cette courbe représente la dérivée de $g(x)$.

La fonction dérivée

La fonction dérivée de $g(x)$ est notée $g'(x)$ représente les variations de la fonction $g(x)$.

Ici, évidemment, j’ai pris des valeurs approximatives. Si on trace la vraie fonction dérivée de g(x), on obtient très exactement ceci, où $g(x)$ est en rouge et $g'(x)$ est en bleue :

fonction et dérivée
Ma courbe noire précédente n’était pas bien éloignée, hein ?

Pour avoir la valeur de la fonction dérivée en un point donné, il faut connaitre la variation (l’inclinaison) de la fonction principale en ce point. En cours, on apprend qu’il faut tracer la tangente à la courbe et en calculer la pente : en effet, la pente d’une droite est plus simple à mesurer graphiquement que la pente d’une courbe.

La formule pour la courbe bleue $g'(x)$, dérivée de la courbe rouge $g(x)$ est la fonction dérivée : $g'(x) = -9{x^2} + 10x$.

Calculer et tracer la fonction dérivée d’une fonction permet de visualiser la variation de cette fonction. En effet, partout où la fonction dérivée est positive (donc au dessus de l’axe de des abscisses) c’est là où la fonction principale est croissante. Et partout où la fonction dérivée est négative, c’est là où la fonction principale est décroissante. Aussi, voyez que la fonction dérivée a ses racines (endroits où elle coupe l’axe des abscisses) au mêmes endroits où la fonction principale passe de croissante à décroissante ou inversement.

À quoi ça sert ?

Les fonctions dérivées, je me répète, montrent la variation d’une fonction principale. En analysant la dérivée, on obtient donc des informations supplémentaires sur la la fonction principale.

Les applications sont très nombreuses : il arrive que ce n’est pas une valeur qui importe mais la variation d’une valeur. Par exemple en physique, si on prends un champ magnétique, ce dernier n’induit un courant électrique que si il varie (loi de Maxwell-Faraday). Ici, la connaissance du champ magnétique ne suffit pas et il faut connaître sa variation (donc sa dérivée) pour connaître l’intensité du courant induit.

Un autre exemple : la vitesse. Quand on change sa vitesse de déplacement, on subit une accélération ou une décélération : l’accélération existe donc quand la vitesse varie uniquement. L’accélération est donc la dérivée de la vitesse.

Les dérivées existent un peu partout autour de nous. Même si on ne s’en sert pas dans la vie de tous les jours, la science en a beaucoup besoin. Que ce soit en thermodynamique, en chimie ou en électricité, il existe des tas de formules qui font intervenir des dérivées de fonctions.

Notons enfin une dernière chose : en math on utilise la notation « $f'(x)$ » pour désigner la dérivée de la fonction $f(x)$.

En physique et partout ailleurs qu’en math, on notera plutôt $\frac{d(f)}{dx}$, pour signifier qu’on dérive la fonction $f$ par rapport à la variable $x$. Si j’avais mis $\frac{d(f)}{dz}$, ça aurait voulu dire qu’on dérive la fonction $f$ par rapport à la variable $z$.
En physique, il arrive que certaines fonctions ont plusieurs variables (pas juste $x$) et il faut donc savoir par rapport à quoi on la dérive (quelle paramètre varie, en fait) : la température $\frac{d(f)}{dT}$ ? la pression $\frac{d(f)}{dP}$ ?

Bref, les dérivées ce n’est pas juste un délire de mathématiciens.

Je sais très bien qu’en cours on vous pond ça comme un cheveu sur la soupe en vous disant « apprends », mais il y a vraiment un concept derrière : une fonction dérivée traduit la façon dont une autre fonction varie, comment elle évolue (monte, descend, stagne), et il y a des tas de disciplines où un paramètre seul n’est pas intéressant mais où la variation de ce paramètre est importante.

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man-x86 a dit :

Il y a deux détails :
- "Si j’avais mis d(f)/dz, ça aurait voulu dire qu’on dérive la fonction f par rapport à la fonction z." < je suppose que tu parles de la variable z.

- Un peu plus loin, quand on dérive des fonctions à plusieurs variables, c'est ce qu'on appelle des dérivées partielles, avec des "d-ronds", en considérant les autres variables fixes par rapport à la dérivation.

Par contre, je plussoie complètement l'initiative, quand j'étais au lycée, j'ai vraiment été sur le cul quand j'ai remarqué que c'était un des principes de bases de la mécanique et de l'électricité, nettement plus intuitifs qu'une définition à apprendre bêtement.

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mat a dit :

Vraiment bien clarifié je trouve. Nombre de professeurs ont du mal à expliquer à chacun de leurs élèves ces concepts car ce genre de concret est trop souvent absent dans les programmes, même au travers des exercices donnés. J'ai moi même connu le prof de maths qui nous apprenait qu'avec la formule magique "hypothèse(s) -> théorème -> conclusion" (au collège bien sûr) on pouvait résoudre tous les problèmes du programme, ce qui n'était pas faux mais n'assurait aucunement d'avoir compris le concept qui se trouvait derrière.
C'est bien pour cela qu'on entendait souvent, plus tard au lycée, des élèves déclarant n'avoir rien compris au sens d'un problème d'algèbre sans que cela les empêchent d'obtenir des notes proches de 20/20 à certains devoirs (la fameuse bêtise du "par coeur"). On nous automatisent connement au début et à partir du moment où il faut une réflexion plus poussée, les élèves qui n'ont pas assez de jugeote mentale, par manque voire défaut de stimulation intellectuelle, vont galérer à rattraper les autres.

Et la tu ne parles que de dérivée au sens large, mais en prépa, j'ai vu des étudiants complètement à la ramasse quand il a fallut assimiler les dérivées partielles ou les développements limités (pourtant magnifiquement efficaces et nécessitant d'avoir bien assimilé les concepts de base de dérivé et primitive).

Bref, faudrait vraiment reforger la pédagogie du primaire et du secondaire (je sais, je rêve un peu trop).

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UnMatheuxInconnu a dit :

Il y a quelques imprécisions :

Une fonction y=f(x) sert à appliquer une opération (f) sur un nombre (x) et on obtient un autre nombre en résultat (y). C’est utile quand vous voulez appliquer la même opération sur toute une série de nombre.

f(x) ou y ou y=f(x) c'est une valeur de la fonction, la fonction c'est f ou f:x→3x+2. Et je trouve la formulation un peu étrange. Une fonction c'est un objet mathématique qui permet d'associer à chacun des éléments d'un ensemble un élément d'un autre ensemble. Cette définition est plus difficile à comprendre, mais je pense que pour comprendre les dérivées, il faut d'abord comprendre les fonctions.
Par exemple : http://zestedesavoir.com/tutoriels/223/introduction-aux-fonctions/

Et donc ceci n'a pas de sens :

La fonction dérivée de g(x) est notée g′(x) représente les variations de la fonction g(x).

C'est plutôt :
La fonction dérivée de g notée g′ représente les variations de la fonction g.

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V0r4c3 a dit :

Merci beaucoup pour ces explications avec lesquelles j'ai enfin saisi l'intérêt de ces foutues dérivées.
Et c'est exact, ayant depuis tjs détesté apprendre par coeur quelque chose que je ne comprend pas,
j'en arrivais à me prendre des tôles en math alors qu'en physique appliquée, avec les mêmes sujets, j'étais au top.

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thib a dit :
L’accélération est donc la dérivée de la vitesse.

Rien qu'avec cette phrase, je comprends mieux les dérivées qu'avec tout ce qu'on m'a fait apprendre par cœur en cours. Il faudrait peut être commencer par là ^^

Par la même occasion, je comprends enfin "pourquoi" cosinus est la dérivée de sinus : je le savais mais sans bien me représenter ce que ça signifiait.

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Fred a dit :

"Aussi, voyez que la fonction dérivée a ses racines (endroits où elle coupe l’axe des abscisses) au mêmes endroits où la fonction principale passe de croissante à décroissante ou inversement."

Pas forcément.

Contre-exemple : La fonction f(x)=x^3 en 0. f'(x) = 0, mais le point (0,0) ce n'est pas un extremum de f.

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inwebo a dit :

Bonjour Timo,

sans aucun doute, tu es un très bon pédagogue ! Pour le bien de l'éducation nationale passe ton agrég' et à toi la carrière de professeur.

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Loukatao a dit :

Bravo Timo

Continue ce genre d'explication. Ca nous remettra un peu à jour dans nos mémoires et permettra de comprendre un peu mieux ce que l'on a appris il y a longtemps ( enfin pour moi )

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Le Hollandais Volant a dit :

@Fred : dans ton exemple, la dérivée est 3x^2.

Plus exactement, en (0,0),ce n'est pas un changement de variation dans l'absolu mais ça passe de croissante à constante (en un point).


@inwebo : l'éducation nationale ne cherche pas des pedagogues, mais des gens capables de mémoriser des cours universitaires durant 5 ans puis de les recracher devant une classe de 40 élèves.

Et je ne sais pas mémoriser les choses.

Autrement, je pense que cet article est plus utile en ligne à la vue de tous que sur un tableau.

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Grob a dit :

Je plussoie pas mal ce qu'a dit @UnMatheuxInconnu : attention aux imprécisions ! (Car oui, ce qui est important c'est d'expliquer, et les notations on s'en fout un peu, mais si on habitue le lecteur à des notations foireuses, il s'y habituera aussi et ça risque fortement de le gêner par la suite).

J'aurais juste à ajouter :

"y=f(x)" c'est une équation, ta notation fait pour moi se poser la question "pourquoi on nous parle de y là, comme ça ?"
Le y, il n’apparaît que quand on veut représenter la fonction, sous forme d'un graphe (et tu as d'ailleurs fait le choix de ne pas en parler lorsque tu as abordé les graphes, pourquoi en parler ici du coup ?)

"la courbe descend"... On a l'intuition, mais utiliser les verbes "croitre" et "décroitre" ne serait pas plus approprié ?

Au passage, sur le graphe avec les --, -, +, -, --, pourquoi il y a deux zones blanches sur les côtés ? Sans le vouloir, tu alimentes la confusion entre l'ensemble de définition d'une fonction et l'ensemble de visualisation du graphe...

"l’accélération existe donc quand la vitesse varie uniquement" : fondamentalement, cette phrase est fausse.
Si la vitesse fait un "saut", il y a bien variation de la vitesse, et l'accélération n'existe pas.
Si la vitesse est constante, elle ne varie pas, et l'accélération existe (et est nulle...)

"En physique, il arrive que certaines fonctions ont plusieurs variables (pas juste x)"
En maths aussi, et pis d'ailleurs le choix de "x" comme variable est totalement arbitraire, il ne faut pas l'oublier !

Tu te penches beaucoup sur le côté intuitif des choses, et c'est super cool (et visuellement bien expliqué), mais il faut quand même faire attention à mon avis ne pas engendrer ni alimenter de confusions dans la tête des gens.



Sinon, pour répondre à ça :
"l'éducation nationale ne cherche pas des pedagogues, mais des gens capables de mémoriser des cours universitaires durant 5 ans puis de les recracher devant une classe de 40 élèves."

Non. L'éducation nationale cherche des gens. Tout court.
En maths, il y a fréquemment plus de places proposées au CAPES de maths que d'inscrits à ce même concours. Du coup, on peut pas tellement se permettre de refuser des gens, aussi incompétents, peu pédagogues ou incultes en maths soient-ils.
Si "les profs de maths sont tous nuls", ce n'est pas parce que l'éducation nationale leur demande d'être nul, c'est juste parce que la société pense que être prof de maths, c'est nul (le cercle vicieux c'est la vie).

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Le Hollandais Volant a dit :

@Grob :

"l’accélération existe donc quand la vitesse varie uniquement" : fondamentalement, cette phrase est fausse.
Si la vitesse fait un "saut", il y a bien variation de la vitesse, et l'accélération n'existe pas.
Si la vitesse est constante, elle ne varie pas, et l'accélération existe (et est nulle...)

C’est là la différence entre les maths et la physique.
Faire un saut de vitesse en physique, c’est pas possible à la base, donc la question ne se pose pas. C’est pour ça que j’en parle pas : mon article n’est pas un cours complet avec tous les cas particuliers…

Je pense qu’on devrait montrer que les maths servent à la physique et au reste. Aucun prof de math que j’ai eu n’a jamais expliqué ça.
À partir de là on comprend beaucoup plus de choses : les maths deviennent quelque chose de concret et pas un truc abstrait que seuls 3 élèves dans la classe arrivent à utiliser…


Non. L'éducation nationale cherche des gens. Tout court.

Et on se retrouve avec ça : http://www.lefigaro.fr/actualite-france/2014/05/16/01016-20140516ARTFIG00301-devenir-professeur-avec-420-de-moyenne-c-est-possible.php

Je vois pas l’intérêt, si pour que les élèves après n’aient plus le niveau…

S’ils proposaient des vrais salaires aux débutants (genre les mêmes que dans les pays scandinaves (là où le niveau scolaire est le plus haut, étrangement), ça motiverait plus de gens à faire 5 ans d’études.

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mat a dit :
Je pense qu’on devrait montrer que les maths servent à la physique et au reste.

C'est bien le problème car au secondaire, on l'enseigne comme une science à part entière, alors que de véritables scientifiques expliquent avec justesse que les mathématiques s'apparentent bien plus à un langage pour comprendre tout domaine qui ne se "parle" qu'en mathématiques.

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Vader_666 a dit :

Bon article Timo. Si on m'avait expliqué ça comme ça à l'époque j'aurais mieux compris et certainement mieux accroché !

Merci.

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dan a dit :
Je pense qu’on devrait montrer que les maths servent à la physique et au reste.

J'était très bon en math mais nul en physique. Une fois mon prof de physique m'a dit qu'il ne comprenait pas pourquoi j'avais des difficultés en physique si j'était très bon en math. J'lui répond que je ne vois pas le rapport entre les deux. Il me répond que la physique c'est l'application direct des maths.

En lisant ton article ça me remet les choses en ordres.

Cette phrase prends tout son sens :

Je sais très bien qu’en cours on vous pond ça comme un cheveu sur la soupe en vous disant « apprends »

J'me sens un peu comme un idiot qui récite des choses "vide de sens".

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Grob a dit :

@Le Hollandais Volant :

(pour ce qui est de la physique, je ne me suis pas fait comprendre : mon exemple était dénué de sens pour dire que formellement, la phrase n'avait pas tellement de sens et méritais une petite retouche, pour garder l'idée intuitive tout n'induisant pas en erreur...

S’ils proposaient des vrais salaires aux débutants (genre les mêmes que dans les pays scandinaves (là où le niveau scolaire est le plus haut, étrangement), ça motiverait plus de gens à faire 5 ans d’études.

Pour y être depuis quelques mois, si tu rapporte ça au coût de la vie, la différence est pas tellement énorme (1 à 1,5 fois plus).
Perso pour un bac +5 il me semble beaucoup plus simple de devenir ingénieur, si vraiment t'as envie de gagner du fric...
Alors oui, augmenter les salaires aurait un impact bénéfique, mais... Ça ne suffirait pas. Le problème, c'est qu'on a aucune confiance en nos profs, qu'on leur demande d'expliquer parfaitement, qu'on rejette notre incompréhension sur leurs méthodes mauvaises, et quoi qu'ils fassent, ils auront tout faux !

La différence qui semble émerger de mes quelques discussions avec des suédois, c'est bel et bien que pour eux, un prof, c'est quelqu'un qui en sait plus que toi, que du coup tu as intérêt à écouter et à essayer de comprendre, pour mieux avancer...

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Le Hollandais Volant a dit :

@dan : moi c'est l'inverse : je comprends bien la physique : le comportement de la matière, l'espace-temps et l'energie, tout ça c'est assez clair, mais je suis plutôt incapable d'applique les équations au delà d'un certain niveau de complexité.

Et on me disais "mais c'est simple, c'est juste des math". Et je répondais "si j'avais été bon en maths, je serais en spe-math pas en spe-physique". J’ai fait l’erreur de croire qu’on ferait de la physique en classe de physique. Je veux bien qu’on doive faire des maths pour expliquer ce qui se passe, mais ce n’était pas le cas, du moins pas quand j’étais en PCSI.

Avec la divergences des notations et du vocabulaire entre les cours de maths et de physique, j'étais complètement paumé et j'ai fini par arrêter.


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