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Les aimants sont fascinants, qu’on soit ou non un scientifique. Vous savez par exemple que vous pouvez vous en servir pour soulever des trombones ou d’autres pièces de métal ; mais savez vous qu’on peut aussi faire des trucs plus étranges avec ? Comme repousser de l’eau ou faire léviter du carbone ?

Le paramagnétisme

Le magnétisme habituel, celui qui permet à un aimant de soulever des trombones, c’est le paramagnétisme : c’est le magnétisme du fer et de l’acier, mais aussi du nickel ou du cobalt.

Son fonctionnement est assez simple mais il faut quand même plonger au cœur de la matière. Dans les atomes comme ceux du fer, certains électrons, ceux situés en périphérie de l’atome et qui ne participent pas aux liaisons atomiques, sont comme « orientables » (on parle de moment magnétique de l’électron, qu’on pourrait décrire comme le sens de l’aimant représenté par l’électron).

Quand on soumet un échantillon de fer à un champ magnétique, ces électrons s’alignent tous dans le même sens que les lignes de champ du champ magnétique :

le paramagnétisme
↑ Les moments magnétiques de chaque atome s'alignent avec le champ magnétique extérieur (en bleu).

En résultat, le champ magnétique du matériau et celui de l’aimant s'ajoutent. Le matériau et l’aimant sont alors attirés l’un vers l’autre. C’est ce qui permet à un trombone de rester « collé » à un aimant.

De plus, vous avez peut-être remarqué que si on utilise un aimant relativement puissant, on peut créer un sorte de « serpent » avec les trombones : le premier trombone est collé à l’aimant, mais les autres trombones peuvent se coller au trombone précédent. On peut ainsi en faire coller deux ou trois à la suite, suivant la force de l’aimant.

Ceci est dû au fait que chaque trombone, en présence de l’aimant, devient un aimant également (à cause des électrons, tous alignés). Quand on retire l’aimant, les électrons reprennent une orientation aléatoire et l’aimantation disparaît.

Le ferromagnétisme

Si on reprend le cas précédent, où on colle des trombones à un aimant, mais que l’on utilise un aimant très puissant (aimant au néodyme par exemple), alors les trombones conservent une petite aimantation résiduelle même quand l’aimant est retiré.
Les électrons dans la matière restent alors orientés dans le même sens que l’aimant les as mis, même quand on retire l'aimant. On parle alors de ferromagnétisme.

Dans ce cas, le matériau est devenu un aimant permanent lui-même et il conservera cet aimantation tant que l’on ne la supprime pas (en chauffant fortement le matériau, par exemple).

Il faut noter que dans un matériau ferromagnétique, si les électrons s’orientent dans le même sens sous l’effet d’un aimant, puis conservent une partie de cette orientation une fois l’aimant retiré, le caractère aimanté de l’échantillon n’existe pas « de base ».

En fait, la matière est subdivisée en petites régions, appelées micro-domaines de Weiss. L’orientation des électrons de chacune de ces régions est identique, mais chaque domaine a une orientation aléatoire. Au total, l’échantillon dans sa globalité n’est pas aimantée tant que l’on n’applique pas un champ magnétique extérieur.

L’antiferromagnétisme

Dans les matériaux ferromagnétiques, les électrons s’orientent tous dans le même sens que le champ magnétique extérieur. Dans l’antiferromagnétisme, l’orientation est inversée d’un atome sur l’autre, formant un moment magnétique global nul :

antiferromagnetisme
↑ Les moments magnétiques d’un atome s’inversent avec celui de l’atome voisin.

Macroscopiquement, ce matériau réagit comme un matériau non magnétique (il n’est ni attiré, ni repoussé par un aimant), mais des phénomènes magnétiques interviennent tout de même au niveau microscopique.

Les matériaux antiferromagnétiques le sont en dessous d’une certaine température (dite de Neel) et sont généralement paramagnétique au dessus.

En plus des matériaux intrinsèquement antiferromagnétique, des assemblages de couches ferromagnétiques séparées par un isolant ont parfois également un comportement antiferromagnétique. Ces dispositifs là sont largement utilisés en électronique et en mécanique, à cause de comportement électroniques particuliers.

Ces constructions au comportement antiferromagnétique sont utilisés sur les têtes de lecture des disques durs, dans la mémoire vive magnétique (la Magnetic Random Access Memory, ou MRAM) et plus généralement dans d’autres formes de microsystème électromécanique (ou MEMS, de l'anglais) dont font partie les accéléromètres et les capteurs à effet hall que l’on trouve dans les smartphones aujourd’hui.

Le ferrimagnétisme

Un peu situé à l’intermédiaire entre le paramagnétisme (tous les électrons s’orientent dans le même sens) et l’antiferromagnétisme (les électrons s’orientent dans des sens deux à deux opposés), on trouve le ferrimagnétisme : les moments magnétiques des électrons sont bien opposés deux à deux, mais ceux étant dans le sens le champ magnétique extérieur sont plus fort que ceux dans le sens inverse. Le moment magnétique total dans un sens est donc supérieur à celui dans l’autre sens et le moment magnétique total de l’échantillon n’est donc pas nul :

ferrimagnetisme
↑ Les moments magnétiques dans un sens n’ont pas la même intensité que ceux dans l’autre sens.

Les matériaux ferrimagnétiques ont des propriétés anisotropiques, c’est à dire que l’orientation des cristaux utilisés a son importance. Ceci est utilisé dans le domaine du paléomagnétisme, où les roches ferrimagnétiques capturent le magnétisme terrestre de l’époque de leur formation. L’étude de ces roches permet de déduire que le champ magnétique terrestre s’inverse régulièrement au fil des éons. Inversement, on peut aussi dater une roche en analysant le champ magnétique qu’il a capturé.

Ces matériaux, ont aussi un intérêt dans les nanotechnologies : leur moment magnétique global étant « programmable » sous l’effet de la chaleur, certaines formes de mémoire vives et mortes pourraient utiliser des éléments ferrimagnétiques avec une tête de lecteur et d’écriture à base d’un laser. Le but étant d’avoir des modules mémoires beaucoup plus rapides que la mémoire actuelle, inscrite avec des tensions électriques seulement.

Le diamagnétisme

Quand, dans un matériau soumis à un champ magnétique, tous les électrons s’orientent dans le sens opposé au champ magnétique (donc l'inverse que dans un matériau paramagnétique), alors l’aimant et le matériau se repoussent et on parle de diamagnétisme :

diamagnétisme
↑ Les moments magnétiques de chaque atome s’appose au champ magnétique extérieur.

Cette répulsion intervient à de degrés plus ou moins forts dans tous les matériaux, bien qu’elle soit généralement écrasée par d’autres types de magnétisme. Aussi, la répulsion entre un matériau diamagnétique et un aimant n’existe pas de façon intrinsèque : elle naît de la présence de l’aimant, et elle disparaît quand l’aimant est retiré.

On observe ceci par exemple quand on place du carbone pyrolytique au dessus d’un aimant : la répulsion est alors supérieure au poids du morceau de carbone et les deux forces (répulsion diamagnétique et poids) s’équilibrent. On a alors une lévitation du morceau de carbone au dessus de l’aimant :

i
Ce phénomène est également la vraie raison qui fait que les céréales sont attirées par un aimant : l’eau est également un matériau diamagnétique. L’aimant repousse donc l’eau, formant un creux dans lequel « tombe » la céréale.

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des lingots d’or
Suite à mon article sur les usages particuliers de l’argent, voici un article que quelques faits intéressants à propos de l’or.

La couleur de l’or

Tout le monde connaît la couleur jaune de l’or… Mais savez-vous d’où provient cette couleur ?
L’or étant un métal élémentaire, il ne s’agit pas de pigments colorés. Il ne s’agit pas non plus de couleur structurelle comme celles d’une plume de paon, et que l’on pourrait retrouver avec le plutonium métallique. En réalité, la couleur de l’or, ainsi que celles du cuivre ou de l’osmium ont des origines bien plus fascinantes et complexes à la fois.

La couleur de l’or est un de ces effets qui tirent leur source de phénomènes quantiques et relativistes à la fois.

L’article détaillé est ici, mais pour faire rapide, disons que la lumière qui arrive sur un métal fait vibrer ses électrons. Ces derniers, en réaction, vont réémettre de la lumière. Dans un métal normal, l’excitation se situe dans l’ultraviolet et n’est pas visible : les rayons lumineux sont simplement renvoyés et le métal apparaît gris. Dans le cas de l’or, en raison de la structure du cortège électronique (particulièrement important et proche du noyau), les électrons vont plus vite, à tel point que des effets relativistes entrent en jeu. Une des conséquences de ces effets est que la masse des électrons augmente : ils vibrent alors plus lentement et l’excitation des électrons se fait à des niveaux d’énergie plus bas. D’avantage de lumière est réémise se fait dans le domaine du visible : du jaune pour l’or, de l’orange pour le cuivre ou du bleu pâle pour l’osmium.

Le centre de la Terre est plein d’or

Quand la Terre, avec les autres planètes de notre système solaire, s’est formée, elle était une boule de matière en fusion, donc liquide. La gravité a alors opéré, et les éléments les plus lourds (les métaux) ont coulé dans le centre et les éléments légers sont remontés à la surface (on appelle ça la différenciation planétaire). C’est pour ça que le noyau terrestre est essentiellement métallique (fer, nickel…) et que la croûte est plus légère (surmontée d’une atmosphère, encore plus légère).

Parmi tous les métaux, l’or fait partie des plus denses de tous : il s’est donc retrouvé tout au centre de la Terre, laissant la croûte terrestre et le manteau pratiquement exempt de ce métal.

La question qui vient alors : d’où vient l’or de nos bijoux ? La réponse : des astéroïdes, comme vous allez le voir.

Les astéroïdes sont plein d’or

Si cette affirmation est exagérée, comme je l’explique dans mon article sur les astéroïdes, l’or s’y trouvant reste plus accessible que celui qui se trouve au centre de la Terre.

Un astéroïde n’est pas assez gros et chaud pour que le manteau fonde et que l’or coule au centre. Le métal est donc resté au sein de la roche, y compris en surface.

Quand un astéroïde tombe sur Terre, tout cet or est dispersé et l’on peut le trouver, à côté d’autres métaux lourds et précieux : palladium, platine, tungstène…
L’or que l’on retrouve sur Terre, dans les mines et les filons, est donc essentiellement de l’or extraterrestre.

Par ailleurs, certains projets spatiaux prévoient d’aller sur les astéroïdes et rapporter sur Terre l’or et d’autres métaux rares sur Terre pour les utiliser ici. Il est en effet impensable de forger jusqu’au centre de notre planète, mais aller sur un astéroïde, ça, on sait le faire.

De la densité de l’or

J’ai dis que l’or primordial s’est retrouvé, par simple gravité, dans le noyau de la Terre. Ceci est la conséquence de la grande densité de l’or ! En effet, l’or a une densité de 19,8 : cela signifie qu’une brique de lait remplie d’or pèserait pratiquement 20 kg.
Inversement, si un kilogramme d’eau correspond à une bouteille d’eau « habituelle », un kilogramme d’or aurait la taille d’un petit œuf de poule seulement.

La sensation de tenir un objet aussi lourd dans un volume aussi petit est d’ailleurs assez remarquable, et qui ne peut être obtenu qu’avec une poignée de matériaux seulement, dont le plutonium, le tungstène, et quelques autres éléments rares et précieux (iridium, osmium…).

L’or dans les médicaments

Dans l’organisme, l’or a des propriétés anti-inflammatoires quand il est absorbé à petite dose sur des périodes longues. L’utilisation de l’or dans certains médicaments se nomme la chrysothérapie et cette propriété est utilisée depuis l’antiquité.

Image d’en-tête de Sprott Money

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des boules de noël argentées
Vous connaissiez l’argent dans les médailles olympiques ou l’argent dans les bijoux, mais connaissiez-vous ces autres usages pour ce métal ?

Le miroir d’argent

Les miroirs sont des surfaces de verre polies et recouverts d’un côté par un métal brillant. À base d’étain et de mercure depuis l’antiquité, l’argent a été utilisé à la place dès la renaissance, par un procédé chimique dit « du miroir d’argent » qui consiste à précipiter de l’argent sur la surface du verre (les boules de noël sont faites de la même manière).

Dans un tube à essai, cette réaction (appelée Réaction de Tollens) donne l’illusion d’un tube argenté, et qui reste ma réaction chimique favorite. On peut aussi faire ça avec du cuivre et même de l’or.

Dans les miroirs actuels, l’argent est remplacé par d’autres métaux moins précieux et moins chers.

Pour d’autres articles sur les miroirs :

La photographie argentique

Vous vous-êtes déjà demandés d’où venait le nom de « photographie argentique » ? Parce qu’il y a de l’argent dedans ! Certains composés argentés, comme le chlorure d’argent, noircissent à la lumière. Cette particularité est utilisée dans la photographie : l’exposition du film argentique à la lumière va faire précipiter de l’argent métallique (qui est sombre). Les zones lumineuses étant plus exposées que les zones sombres, le film se voit donc devenir une photographie de la scène photographiée.

Concernant la photo couleur, c’est la même chose : sauf qu’on filtre la lumière et seule la lumière rouge/verte/bleue vient noircir une surface spécifique. En combinant ensuite toutes les différentes surfaces on recompose une image en couleur.

L’argent qu’on mange

On trouve dans le commerce des friandises en forme de perles métalliques. Il s’agit de véritable argent (composé E174), utilisé ici parce qu’il n’est pas toxique en faible doses.

D’autres trucs étranges que l’on mange :

Les couverts en argent

L’argent est un bio-catalyseur qui agit comme un désinfectant et un antibactérien.
Si les personnes qui vivaient très longtemps autrefois était les riches, c’est en partie dû aux couverts en argent qu’ils utilisaient. Certains antiseptiques contiennent de l’argent aujourd’hui sous forme d’iodure d’argent.

À propos des cuillères :

Faire pleuvoir grâce à l’argent

L’iodure d’argent justement… Ce composé est utilisé pour provoquer des pluies artificielles !

Afin de réduire la violence des orages ou la taille des grêlons, on disperse parfois de l’iodure d’argent dans l’air afin de favoriser la formation des gouttes (nucléation) et de provoquer des pluies avant que le nuage ne se transforme en un orage violent.

Sur les orages :

L’argent conducteur électrique

L’argent est le meilleur conducteur électrique métallique qui existe. Même oxydé il est reste très bon conducteur. On l’utilise dans les ordinateurs et d’autres appareils. S’il est remplacé par le cuivre c’est uniquement pour le prix, car le cuivre s’oxyde trop rapidement à l’air (l’or ne s’oxyde pas mais est beaucoup trop cher, et n’est donc utilisé qu’aux endroits très spécifiques).

Aujourd’hui, on voit apparaître des conducteurs d’électricité non-métalliques qui sont encore meilleurs que l’argent. L’un d’eux est le graphène, entièrement composé de carbone (donc bien moins rare). Ce produit promet d’être révolutionnaire dans les années à venir…

(Cet article a initialement été publié sur Le Hollandais Volant. J’ai décidé de mettre à jour et de le déplacer ici)

Image d’en-tête de Martha T.

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réacteur nucléaire avec effet Cherenkov

Le bang supersonique

Le son se propage dans l’air à une vitesse d’environ 340 m/s (1 200 km/h) au niveau de la mer. Les vibrations d’une molécule de l’air à une autre se propagent en effet à cette vitesse.

Quand un objet dépasse cette vitesse, le son produit par l’objet s’éloigne de l’endroit où il a été émis à la même vitesse que l’objet. Si cet objet, par exemple un avion, se déplace dans votre direction, vous le verrez s’approcher sans l’entendre : le son ne pouvant arriver plus rapidement que l’avion lui-même.

Parallèlement, le son étant continuellement émis par cet avion, les ondes sonores s’accumulent devant l’avion. Une onde sonore étant une fluctuation périodique et locale de la pression dans l’air, il apparaît juste devant l’avion une surpression suivie d’une dépression. La dépression ne pouvant être plus basse qu’une pression absolue égale à 0, ceci marque la frontière où une onde sonore devient une onde de choc : une variation très importante, brutale et violente dans la pression de l’air.

Un avion qui dépasse la vitesse du son et qui maintient une vitesse supersonique provoque donc une onde de choc. Si l’avion n’est pas trop près, cette onde de choc s’atténue et redevient une onde sonore caractéristique appelée « bang supersonique ». Et c’est elle que l’on entend quand un avion « dépasse le mur du son ».

Un autre effet de cette brusque variation de pression locale dans l’air, c’est la formation de micro-gouttelettes d’humidité dans l’air, faisant apparaître un sorte de bouclier de vapeur, appelé cône de Mach, sur un avion :

un avion avec le cône de Mach
Le cône de mach sur un avion en vol supersonic (image)

Bon, tout ceci concerne le son dans l’air et les objets se déplaçant plus rapidement que le son ne le fait dans l’air.

Avec la lumière : un flash superluminique ?

La vitesse de la lumière dans le vide est la limite pour une vitesse de déplacement.

Un objet, comme un vaisseau spatial, ne peut atteindre ou franchir cette vitesse. Il s’agit d’une vitesse absolue : la lumière se déplace toujours à la vitesse de la lumière. Donc même par rapport à un vaisseau spatial super-rapide, la lumière s’en éloigne à la vitesse de la lumière du point de vue du vaisseau (vu du sol, la lumière sera vu comme se déplaçant à la vitesse de la lumière aussi, et non le double de la vitesse de la lumière — c’est ce qu’on appelle la relativité, où ce n’est plus les vitesses qui s’additionnent, mais la structure de l’espace et du temps qui se déforment, mais ça sera pour un autre article).

Ce qu’il faut voir ici c’est que la vitesse de la lumière est infranchissable dans le vide.

Dans le vide.

Car quand un rayon lumineux se propage dans un autre milieu, par exemple dans l’eau ou le verre, la lumière est ralentie. Le rapport de ralentissement dépend du milieu qui se caractérise alors par un indice, dit indice de réfraction $n$ de la lumière qui traduit ce ralentissement.
Dans l’eau, le ralentissement est de l’ordre de 25 %. Dans le verre, autour de 33 %. Le ralentissement atteint même 60 % dans le diamant, où il est responsable de l’éclat si particulier de cette pierre précieuse.

Notez bien cependant : c’est la lumière qui ralentit dans ces milieux.
Si on envoie un faisceau d’électrons, de protons ou de toute autre particule sur du verre, l’indice de réfraction n’est pas appliqué et la particule peut aller à des vitesses proches de la vitesse de la lumière dans le vide.

On peut alors se retrouver dans une configuration où, dans le milieu (l’eau, le verre…), la lumière va moins vite que la particule… qui va moins vite que la vitesse de la lumière dans le vide :

$$\mathcal{V}_{\text{lumiere}_{eau}} \lt \mathcal{V}_{\text{particule}_{eau}} \lt \mathcal{V}_{\text{lumiere}_{vide}} $$

Maintenant, si la particule est chargée, comme c’est le cas d’un électron, d’un proton ou même d’un muon, alors le passage de la particule provoque une polarisation des couches électroniques des atomes du milieu transparent en question, de laquelle il résulte une émission de lumière par ces atomes.

Dans le cas où la particule se déplace dans le milieu plus vite que ne le fait la lumière, les interférences produites par cette lumière sont constructives et visibles (alors qu’elles sont destructives et invisibles quand la particule se déplace moins rapidement que la lumière).

La lumière que l’on peut alors observer lors d’un tel phénomène porte le nom d’émission de Vavilov-Cerenkov. On parle aussi de l’effet Vavilov-Cherenkov, ou plus simplement Effet Cherenkov.

Tout comme il résulte d’un avion supersonique la formation d’un cône de Mach, il résulte également ici l’apparition d’un cône lumineux autour de la particule :

Schématisation du fonctionnement de l’effet Cherenkov (source)

Et en vrai, on le voit par exemple dans les piscines des centrales nucléaires, où les particules émises par le combustible nucléaire traverse l’eau à une vitesse supraluminique (image d’en-tête).

Plus surprenant, l’effet Cherenkov peut également se produire dans les yeux (remplies d’eau), quand une particule cosmique la traverse. La personne observe alors un phosphène, une apparition d’un effet lumineux.
Cet effet a été rapporté par les astronautes, qui étaient alors soumis aux particules cosmiques voyageant à très haute vitesse.

image d’en-tête de Argonne National Laboratory

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une spirale exponentielle
En maths, un beau jour au lycée, on décide de vous parler de la fonction exponentielle : une fonction qui croît plus vite que les autres, dont la dérivée est égale à la fonction elle-même et que l’on retrouve soi-disant un peu partout en sciences. Sauf qu’on ne dit pas toujours d’où sort cette fonction, ou la constante $e$ qui lui est liée. Je trouve ça un peu dommage, car comme toute chose, en sciences ou ailleurs, son origine n’est pas le fruit du hasard.

Dans cet article, à la façon dont j’avais expliqué l’origine géométrique des fonctions trigonométriques, je vais tenter d’expliquer d’où sort la constante $e$ ainsi que la fonction exponentielle qui en découle.

Une croissance « exponentielle » ?

« Exponentielle » est un terme associé généralement à une idée de croissance (ou une décroissance) : on parle alors de « croissance exponentielle ». L’idée derrière ça est celle d’une variation bien particulière : d’une population, d’une quantité d’argent, d’une quantité d’atomes, d’une masse…

Toutes les fonctions varient, mais certaines vont un peu plus loin : ce sont celles qui traduisent la variation d’une valeur et dont le taux de variation dépend de la taille de cette valeur. Ces fonctions, donc, varient selon les valeurs qu’elles prennent et non plus seulement selon une grandeur arbitraire, telle une constante.

Exemple : les intérêts bancaires

Prenons l’exemple du système des intérêts bancaires. Quand on parle du taux d’intérêt d’un livret d’épargne, on parle de la quantité d’argent que la banque nous donne, chaque année. On sait que cette quantité dépend directement de la somme que nous avons placé sur ce livret : plus on a d’argent, plus les intérêts sont importants, et donc plus la croissance du montant est elle aussi importante.

Le système utilisé est une forme de fonction exponentielle : les intérêts dépendent de la somme sur le livret. De plus, si vous ne touchez pas à votre argent, alors les intérêts vont, d’année en année, produire des intérêts aussi, et donc augmenter d’autant plus votre épargne, et ainsi de suite. Pour le dire plus simplement : plus vous êtes riches, plus votre richesse augmente.

Cette méthode de calcul, bien qu’étant la même pour tous les épargnants, n’est donc ni équitable ni égalitaire au sens propre : elle a tendance à donner plus à ceux qui ont déjà plus. Du point de vue de la banque cependant, cette méthode récompense d’avantage ceux qui lui fournissent plus de fonds sur les livrets, ce qui peut également se comprendre.

La constante $e$

Le nombre $e$, base de la fonction exponentielle, ne sort lui-même pas de nulle part.
On va essayer de le retrouver, toujours avec l’exemple des intérêts bancaires.

Imaginons une banque avec un taux d’intérêt de 100 % et un compte où se trouve juste 1 € le jour de l’an et auquel on ne touche pas.
Au 31 décembre, les intérêts sont calculés : 100 % de 1 € donnent 1 € et le compte capitalise un total $\text{T}$ de 2 € :

$$\text{T} = 1 + 1 = 2$$

Maintenant, gardons le même 1 € sur le compte et le même taux d’intérêt, mais changeons la méthode de calcul. Plutôt que de calculer une fois en fin d’année, calculons de façon semestriel : on calcule les intérêts sur 50 % du montant au bout de 6 mois et sur 50 % du moment en fin d’année. Le calcul devient :

$$\text{T} = \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^2 = 2,25$$

C’est mieux, on gagne 0,25 € en plus !
Ceci provient du fait que la première moitié des intérêts, celle calculée au premier semestre, est prise en compte pour le calcul de la seconde partie des intérêts. Les $0,25$€ correspondent donc aux intérêts à la fin de l’année pour les intérêts reçus en milieu de l’année.

C’est bien, mais on peut faire mieux : on peut calculer les intérêts à chaque fin de mois. Dans ce cas là, on effectuera 12 calculs avec à chaque fois $\frac{1}{12}$ du montant :

$$\text{T} = \left( 1 + \frac{1}{12} \right)^{12} = 2,613$$

Les intérêts sont encore plus importants : chaque mois sont calculés les intérêts sur les intérêts déjà reçus des mois précédents.

Et si on faisait les calculs encore plus souvent ?

Par exemple, tous les jours : $$\text{T} = \left( 1 + \frac{1}{365} \right)^{365} = 2,7146$$
Toutes les minutes : $$\text{T} = \left( 1 + \frac{1}{365 \times 24 \times 60} \right)^{365 \times 24 \times 60} = 2,718279\ldots$$
Toutes les secondes : $$\text{T} = \left( 1 + \frac{1}{365 \times 24 \times 60 \times 60} \right)^{365 \times 24 \times 60 \times 60} = 2,71828179\ldots$$

On pourrait faire le calcul en plus fréquemment, mais on va s’arrêter pour cet exemple.

Déjà, que constate t-on ?

  1. que l’on calcule les intérêts chaque jour, minute ou seconde, la différence n’est plus aussi importante qu’entre calculer chaque année, mois, jour. Il semble donc qu’on tende de façon asymptotique vers une limite.
  2. que la limite semble être autour de 2,718. Autrement dit, la limite du taux d’intérêt quand les calculs sont fait de plus souvent semble être $e$.

Euler prouvera au XVIIIe siècle que cette limite est bien $e$ :

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e$$

$e$ représente l’accroissement d’un phénomène qui croît continuellement en fonction de sa propre taille.

L’intérêt de $e$

$e$ est une constante intrinsèque de la nature. Quand une grandeur varie en fonction de sa propre taille, cette variation fait intervenir cette constance.

On le retrouve dans le mode de calcul des intérêts bancaires, mais également partout dans la nature : par exemple dans l’accroissement d’une population. Si une population voit naître d’avantages d’individus qu’il n’en meurt, alors la population augmente, et cette augmentation (dépendant directement du nombre d’individus) se fait de façon exponentielle.

Autre exemple, quand on tend un fil entre deux poteaux, chaque portion du fil baisse d’autant plus que le poids total du fil jusqu’à cet endroit est important. Or, plus on s’éloigne du point d’attache, plus le poids de la portion de fil est important et plus il baisse. Encore une exponentielle. D’ailleurs, la courbe dessinée par les fils électriques entre leurs poteaux est celle d’une fonction faisant intervenir des exponentielle (et non une parabole) !

Les exemples sont nombreux : de la probabilité de réaction chimique entre deux réactifs, à la décroissance radioactive d’un échantillon de matériel radioactif, à la charge électrique d’un condensateur, au nombre de débris spatiaux (syndrome de Kessler), à la concentration des étoiles dans une galaxie, la diffusion des épidémies…

Tous ces phénomènes font intervenir des grandeurs physiques dont la variation dépend de leur propre valeur et ce sont donc des fonctions à croissance exponentielles.

La fonction exponentielle

tracé de la fonction exponentielle
À partir du nombre $e$ il a été établi la fonction exponentielle :

$$f(x) = e^x$$

Où $e$ est la base de l’exponentielle trouvée précédemment.

Ce type de fonction, qui croît en fonction de sa propre taille, croît plus rapidement que n’importe quelle autre. Les fonctions polynômes, de la forme $\sum x^a$ avec $a$ réel et $x$ la variable) croissent de plus en plus quand $a$ est grand, mais l’exponentielle a toujours une croissance plus grande lorsque $x$ est grand.

On aurait pu prendre n’importe quelle valeur à la place de $e$, toutes seraient des exponentielles, mais la fonction ayant spécifiquement $e$ comme base est la fonction exponentielle « naturelle ». La définition de cette fonction $e^x$ a des propriétés uniques, dont les plus importantes sont par exemple que la variation en $x$ de cette fonction est égale à la valeur de $e^x$ elle-même. En d’autres termes, la dérivée de la fonction est la fonction elle-même. Réciproquement, l’intégrale de la fonction (l’aire sous la courbe) est aussi égale à la fonction elle-même (et donc à la variation aussi).

La fonction $f(x) = e^x$ est la seule à avoir ces propriétés.

Dans la nature, ceci peut s’interpréter par une force de constance, ou d’uniformité. Peu importe le nombre d’individus de départ dans un population donnée d’être vivants : l’évolution de cette population suivra toujours la même courbe : une courbe exponentielle. Bien-sûr, tous les êtres vivants ne se multiplient pas à la même vitesse, mais ceci ne correspond toujours qu’à des paramètres constants dans la fonction exponentielle « naturelle » :

$$f_1(x) = C_1 \times e^{C_2 \times x} + C_3$$

Pour conclure

La fonction exponentielle ne sort pas de nulle part : c’est une fonction dont la croissance dépend de sa propre valeur. De plus la fonction exponentielle naturelle a pour base le nombre $e$ qui est la valeur limite d’une fonction exponentielle qui évolue de façon continue dans le temps.

Là aussi, loin d’être juste un jouet mathématique, cette fonction est une particularité intrinsèque de la nature, et on la retrouve dans un grand nombre de phénomènes naturels, que ce soit en biologie, en chimie, en physique…

Ressources

image de Pokey’s dad

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