Dans une récente vidéo, Physics Girl nous donne une énigme : on doit faire un chemin entre deux villages et qui passe par un point situé au bord de la mer. Il s’agit de placer ce point de façon à ce que la distance totale du chemin soit la plus courte possible.
Alors qu’il est bien-sûr possible de se lancer dans les calculs, elle arrive à une solution très élégante qui ne prend que quelques secondes à comprendre et à mettre en place.
Je vous laisse découvrir ça dans sa vidéo (en anglais).
De mon côté, je vous propose un second problème, dont l’énoncé ressemble au précédent, mais dont la résolution est tout de même un peu moins simple.
Imaginez la situation suivante : vous êtes toujours sur la plage à quelque mètres de la mer et vous jouez au ballon. Soudainement, le ballon est envoyé dans l’eau et vous voulez le récupérer le plus rapidement possible. Sachant que vous vous déplacez plus rapidement sur la plage que dans l’eau, quelle chemin devez-vous suivre pour récupérer le ballon ?
On peut aller en ligne droite, mais avec un peu de réflexion, on se dit que l’on doit minimiser le temps passé dans l’eau, vu que c’est là qu’on est le plus lent. Il est alors préférable de prendre le chemin rouge : on maximise le temps passé sur la plage à courir et on minimise le temps passé dans l’eau à nager.
Or, bien qu’on passerait plus de temps sur la plage, on doit aussi minimiser le temps passé sur la plage (on veut minimiser le temps total). En réalité, il existe un point $x$ au bord de l’eau vers où on doit se diriger qui minimise ce temps total.
Le problème ainsi posé peut être résolu avec le principe de Fermat. Pierre de Fermat définit ce principe pour la lumière quand elle changeait de milieu :
La lumière se propage d'un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée du parcours soit minimale.
En effet, lorsque la lumière change de milieu (passant de l’air à l’eau par exemple), elle ralenti également. On voit que sa trajectoire forme un angle, et la trajectoire dans son ensemble n’est pas une ligne droite (photo d’en-tête).
La lumière suit une trajectoire optimisée : l’angle est de telle sorte que la durée totale du trajet est la plus courte possible.
Revenons à notre ballon sur la plage.
Si on considère les valeurs numériques de la situation suivante, avec l’hypothèse que l’on se déplace deux fois plus vite sur la plage que dans l’eau :
Alors le temps passé à récupérer le ballon se note ainsi :
$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2+5^2}}{v} + \frac{\sqrt{(10-x)^2+5^2}}{2\times v}$$
En différenciant cette expression (ou en la traçant), on trouve que temps de parcourt est minimal quand on se trouve à $2,35 \text{m}$ du ballon. $x$ se trouve donc significativement plus près du ballon que du joueur.
Le Principe de Fermat est utilisé pour la lumière et pour le joueur qui changent tous les deux de milieu de propagation. Ce principe permet de démontrer la Loi de Snell-Descartes sur la réfraction : la loi relie les angles de réfraction au rapport des indices optiques des deux milieux.
Ce principe, très important en physique, est généralisé avec le principe de moindre action. On retrouve ses effets en optique comme ici, mais aussi en mécanique, en électronique, en relativité et même en mécanique quantique.
C’est lui qui explique également pourquoi le problème de la courbe brachistochrone n’a pas pour solution une ligne droite mais un arc de cycloïde.
Enfin, pour l’anecdote finale, il semble que ce principe soit également utilisé dans le monde animal. Si vous jetez un bâton dans l’eau, votre chien appliquera le principe de Fermat : il aura tendance (au possible après plusieurs essais) a suivre une courbe comme notre joueur et non pas une ligne droite. Des études montrent que c’est également le cas pour les fourmis.
