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Pour faire très court, la relativité restreinte dit que le temps et l’espace ne sont pas fixes : ils varient selon où on se trouve et comment on se déplace. Seules deux choses restent absolues partout et tout le temps : les lois physiques et la vitesse de la lumière.

Les conséquences sont qu’un objet qui se déplace voit l’espace se comprimer : du point de vu d’un piéton, une voiture qui roule est plus courte que quand elle est à l’arrêt (pour le conducteur, c’est le piéton qui semble plus mince) ; et plus il roule vite, plus cet effet est accentué. De même, l’écoulement du temps semble ralentir pour l’automobiliste, par rapport à l’écoulement du temps pour le piéton (l’automobiliste n’est cependant pas un exemple crédible car l’objet en mouvement doit quand même se déplacer à plus de 930'000 km/h pour que sa taille soit aperçue seulement comme doublée) .

La relativité restreinte est peut-être quelque chose de compliqué à se représenter, mais elle explique beaucoup de choses y compris dans la vie de tous les jours. En voici une : l’électromagnétisme, et plus particulièrement les électro-aimants : comment la circulation d’un courant dans un fil génère une force capable de dévier une boussole ?

On imagine une particule chargée négativement située à proximité d’un fil de cuivre. Le fil contient autant d’électrons (charges −) que de protons (charges +) : il est électriquement neutre et la particule chargée n’est pas déviée :

un fil non traversé par un courant ne dévie pas les charges
Quand on envoi un courant électrique dans le fil, les électrons sont mise en mouvement. On va se placer dans le référentiel des électrons. On voit alors que ce sont les charges positives (en rouge) qui se déplacent par rapport à nous.
Si on ne tient pas compte des effets relativistes, alors pas grand chose ne change : les nombres d’électrons et de protons n’ont pas changés et sont toujours égales : le fil est électriquement neutre, la particule chargée n’est pas déviée :

un fil traversé par un courant ne dévie pas les charges sans les effets relativistes
Or, les électrons se déplacement : il convient de tenir compte des effets relativistes et de la contraction des longueurs.
Du point de vue des électrons, c’est le fil qui est contracté. Or le fil supporte les protons : la même longueur de fil contient d’avantage de protons et sa charge totale n’est plus neutre mais positive ! Du coup, la particule chargée est déviée et est attirée vers le fil :

un fil traversé par un courant dévie les charges si on tient compte des effets relativistes
On se trouve là toujours dans le référentiel des électrons en circulation dans le fil. Or, si on se remet dans le référentiel du fil (également celui de l’observateur immobile), ce sont les électrons qui bougent. Est-ce qu’on doit alors avoir plus d’électrons dans le fil, et donc voir la particule chargée être repoussée ? Non : de notre point de vu le fil n’est pas comprimé, seuls les électrons le sont. Si la particule se voit attirée, c’est par un champ magnétique, qui est produit par les charges en mouvement comme on l’a toujours appris !

Le champ électrique et le champ magnétique sont une seule et même chose : un champ électromagnétique. Sauf que le premier est la composante du champ électro-magnétique vue depuis le référentiel en mouvement (celui des électrons) et le second est la composante vue depuis le référentiel de l’observateur (immobile).

Une chose est à clarifier à ce niveau : ici, j’ai utilisé une charge électrique et un fil. Alors qu’en réalité, ce sont les aimants (magnétique) qui sont déviés par un fil électrique. Ceci vient encore des deux composantes de l’onde électromagnétique : du point de vu des charges en mouvement, l’aimant se déplace et c’est comme s’il générait un champ électrique qui agit sur les charges.
Avec ceci, on a alors tout expliqué : des charges en mouvement relativiste sont perçues comme un aimant (l’électro-aimant justement), et un aimant en mouvement se comporte comme une charge électrique déviant d’autres charges électriques et pas seulement des aimants (le principe du générateur électrique).

L’électromagnétisme est un phénomène intimement lié à la théorie relativiste, et vous faites de la relativité à chaque fois que vous utilisez vos plaques à induction, que vous faites fonctionner une perceuse électrique, un four à micro-ondes ou un lave-linge, ou même que vous mettez une paire d’écouteurs sur la tête.

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Arzhurb a dit :

La première phrase me fait tiquer : en RR, l’espace et le temps ne varie pas selon où on se trouve ; l’espace reste invariant par translation.

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Le Hollandais Volant a dit :

@Arzhurb : c'est vrai, mais je parle ici de référentiel : si on est sur la gare ou dans le train, l'espace est vu différemment.

J'ai pas voulu trop surcharger, l'article est déjà assez compliqué comme ça...

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Dica a dit :

En refroidissant le câble, les forces de frottements seraient moindres donc l'intensité du champ magnétique serait plus importante, ca se tiens ?

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Le Hollandais Volant a dit :

@Dica : oui oui, c'est d'ailleurs ce qui se fait. Plus on refroidit un circuit, plus la résistance est faible.

Certains matériaux refroidis sont d'ailleurs supra-conducteurs : plus aucune résistance au dessous d'une certaine température, le courant circule indéfiniment tant qu'on refroidit.

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Hic a dit :
Le bilan énergétique est il correct ?
L'énergie magnétique d'un moteur électrique est au même niveau
que son énergie mécanique hors rendement,
la compensation relativiste est donc de la même valeur que son énergie magnétique
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Seizuor a dit :

Mais la vitesse des électrons soumis à un champ électrique dans un conducteur n'est que de quelques mètres par seconde! Validité du raisonnement dans ces conditions ?

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Le Hollandais Volant a dit :

@Seizuor : quelques centimètres par seconde, même.
Mais le nombre d’électrons est tellement important que bien que la force électromagnétique produite par un seul électron en mouvement soit faible, sur quelques moles d’électrons, cette force finit par devenir visible à notre échelle.

Il ne faut pas non plus oublier qu’un aimant qui soulève un clou d’une table, c’est simplement la force magnétique de l’aimant excédant la force de gravité de toute une planète. Or la force de gravité est incroyablement faible devant la force électromagnétique (d’un facteur $10^{35}$ il me semble).

Il suffit donc d’un petit aimant pour contrer la force gravitationnelle d’une planète entière.

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Seizuor a dit :

Mais avec des vitesses de déplacement le long du fil provoquée par le champ électrique aussi faibles des électrons, notamment la contraction de la longueur du fil responsable de l'augmentation de la densité des électrons n'est-elle pas négligeables ?

Il me semble que c'est seulement la mise en mouvement des électrons à l'application d'un champ électrique qui est très rapide (voisine de c <=> onde électrique) et que la vitesse autour du noyau est nettement plus élevée que celle le long du fil (de l'ordre de c/1000).

Il me semble aussi que lorsque le conducteur est soumis en permanence à un champ électrique continu, on doit ne considérer que la vitesse de déplacement des électrons le long du fil provoquée par le champ électrique, mais elle est si faible que la contraction est négligeable.

Finalement a-t-on le droit de considérer que cette contraction du conducteur "extrêmement faible" à mon avis en raison de la faible vitesse de déplacement le long du fil, est en quelque sorte compensée par la population "extrêmement élevée" des électron égale au départ à celle des protons ?

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Le Hollandais Volant a dit :
la contraction de la longueur du fil responsable de l'augmentation de la densité des électrons n'est-elle pas négligeables ?

Si, mais le nombre d’électrons mis en jeu dans une portion de fil est lui, tout le contraire d’être négligeable.

Il me semble que c'est seulement la mise en mouvement des électrons à l'application d'un champ électrique qui est très rapide (voisine de c <=> onde électrique) et que la vitesse autour du noyau est nettement plus élevée que celle le long du fil (de l'ordre de c/1000).

Il me semble aussi que lorsque le conducteur est soumis en permanence à un champ électrique continu, on doit ne considérer que la vitesse de déplacement des électrons le long du fil provoquée par le champ électrique, mais elle est si faible que la contraction est négligeable.

C’est vrai, mais en quoi est-ce contradictoire avec l’article ?
Quant à dire que « c’est négligeable », il faut préciser devant quoi.

Si tu considères la vitesse de déplacement des électrons sur le fil (1 m/s par exemple), tu peux calculer le ratio de la contraction de la longueur du fil vu depuis l’électron.
Un fil de cuivre de 1 m sera vu avec une longueur de 0,9999999999999999944367 mètres, soit une différence de $5 \times 10^{-18}$ mètre.

Autrement dit, tous les protons présents dans 1 m de cuivre seront concentrés dans 0,9999999999999999944367 mètres.
Si ton atome fait environ 0,1 nm de long, il faut 10 milliard d’électrons pour avoir une force de répulsion équivalente à celle d’un proton.

Si ton fil a une section de 2 mm² et est traversé par un courant d’un ampère, ça fait un total d’électrons en circulation (un par atome de cuivre) de 0,284 mol.
D’où, une différence apparente de charge équivalente à $0,284 \times 10^{-10}$ mol de protons, soit 0,0000027234 coulomb.

Si tu places une charge identique (un autre électroaimant similaire) juste à côté (5 cm), on utilise la loi de Coulomb pour calculer la force entre les deux. La force est alors de : 26 newton, soit environ 2,6 kg.

Si tu augmentes l’intensité, le flot d’électron augmente et ils vont plus vite, donc l’effet est accentué et la force est plus intense.

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Seizuor a dit :

Bonjour,
Merci Le Hollandais Volant pour ta réponse
Je reprend ton exemple du fil de Cu de 2mm2 parcouru par 1A avec une approche un peu différente :
1-Estimons la vitesse de déplacement des électrons
Masse volumique du Cu ~ 9g, Masse atomique du Cu ~ 64g, Nb d'Avogadro 6.02*10^23
Nb atomes/cm3 ~ 9*6.02*10^23/64 ~ 8.4*10^22atomes/cm3 soit 8.4*10^19 atomes/mm3
Deux électrons (de la dernière couche) participant à la conduction par atome de Cu =>
Nb d'electrons/mm3 ~2*8.4*10^19
Densité de courant J =1A/2mm2 =0.5A/mm2 et J=n*e*v =>
d'où la vitesse v=J/(n*e)~0.0175mm/s
2-Estimons la charge linéique négative du conducteur :
1A équivaut à 6.24*10^18 électrons se déplaçant à ~ 0.0175mm/s
Avec la contraction des longueurs, la densité linéique des électrons augmente de :
1/ 0,9999999999999999944367 ~1/(1- 5.5*10^-18) ~ 1+5.5*10^-18
L'excédent des électrons dû à la contraction de la longueur vaut sur 0.0175mm:
1.1*10^-19*(1+5.5*10^-18 -1)=1.1*10^-19*5.5*10^-18 ~ 34.3 électrons / 0.0175mm soit encore
~1960 électrons/mm ce qui correspond à une charge linéique négative du conducteur de 1.6*10^-19*1960 ~ 3.14*10^-6 Cb/mm.
3-Si mon approche jusqu'à présent n'est pas trop idiote, il me semble suffit maintenant de calculer la force électrostatique de Coulomb entre un électron disposé à 5 cm d'un fil rectiligne présentant une charge linéique négative de 3.14*10^-6 Cb/mm, infiniment long (intégration de - 90° à + 90°).

J'avoue que je suis surpris que à cause du nombre élevé d'électrons mis en jeux on puisse constater des effets de la relativité restreinte avec des vitesses aussi faibles.

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Le Hollandais Volant a dit :

@Seizuor : sans faire le calcul intégral complet, un électron placé en face de 1960 électrons est très largement repoussé ^^. Et ça ce n’est que pour la répulsion subie par 1 mm de fil.

Je préfère pour ma part comparer la répulsion entre deux fils identiques.
Si je reprends tes chiffres, on a donc deux fils chargés de 3.14*10^-6 C/mm (chacun) se repoussant (ou s’attirant, selon le sens du courant).

De là, on calcule la force :

$$F = k \times \frac{({3.14 \times 10^{-6}})^2}{0,05^2}$$

où $k = 8,987 \times 10^{9} \text{ SI}$ (cf wiki : https://fr.wikipedia.org/wiki/Coulomb#Ordres_de_grandeur )

Le résultat me donne une force de 311 Newton, soit 30 kilos environ.

Ce n’est pas mon résultat, mais c’est dans le même ordre de grandeur : celui du kilogramme. On n’est pas dans l’ordre de grandeur du picogramme, quoi.

Par ailleurs, tu prends 2 électrons de conduction pour le cuivre. Le cuivre n’a qu’un seul électron de valence :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Cuivre
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9tal_de_transition
(même si ça ne change pas le raisonnement, ni fondamentalement le résultat)

J'avoue que je suis surpris que à cause du nombre élevé d'électrons mis en jeux on puisse constater des effets de la relativité restreinte avec des vitesses aussi faibles.

La quantité d’électrons joue beaucoup ici (c’est elle qui fait tout en fait), et dans la matière, le nombre d’atomes (et donc d’électrons) est inimaginablement grand…

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Seizuor a dit :

Bonjour Le Hollandais Volant

J'avoue ne pas m'être connecté à ce site depuis un moment d'où ma réponse tardive.

J'ai souvent entendu l'affirmation suivante y compris dans le corps enseignant " effets relativistes négligeables avec des vitesses très faibles devant celle de la lumière"

Un grand merci donc pour ces échanges qui m'ont fait prendre conscience que les effets relativistes peuvent se manifester avec des vitesses de déplacement extrêmement faibles (ici grâce au nombre incroyablement élevé des électrons).

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Le Hollandais Volant a dit :

@Seizuor : Oui, en effet. L’affirmation est vraie, mais il ne faut pas oublier de quoi l’on parle. En l’occurrence, ici, d’atomes, dont on a rapidement fait d’en avoir énormément. D’où l’importance de voir le phénomène dans son ensemble ;).

Un autre exemple pourrait être les fourmis : ces insectes sont petits, ne pèsent presque rien, mais leur nombre à la surface de la Terre est tellement grand que leur masse totale dépasse celle des humains (et même celle de tous les vertébrés), jusqu’à représenter environ 1/4 de la masse totale de tous les animaux terrestres (source).

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Phoenix a dit :

Petite question: je ne comprends pas le sens de la flèche bleue sur le deuxième schéma. Pour voir les protons aller vers la droite, ne devrait-on pas se mettre dans le référentiel d'un électron allant vers la gauche ?


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