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Les équations de Maxwell modélisent mathématiquement les interactions entre charges électriques, courants électriques, champs électriques et champs magnétiques. Dit simplement, elles décrivent les phénomènes électriques, magnétiques et lumineux.

Ces équations sont très importantes en physique et tirent leur grande élégance de leur simplicité : juste quatre équations pour décrire le vaste monde de l’électromagnétisme.

Ci-après, on va voir ce que disent qualitativement ces équations, une par une. Au final, vous verrez que c’est juste beaucoup de maths pour « pas grand chose ». En fait, on peut s’en passer pour comprendre le phénomène, mais elles restent indispensable pour les décrire de façon quantitative (et c’est ça qui est compliqué…).

Dans ce qui suit, le champ électrique est représenté par $\vec{E}$ et le champ magnétique par $\vec{B}$.

Équation de Maxwell-Gauss

$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
« La divergence du champ électrique est proportionnelle à la distribution de charges électriques. »

Une un corps ou une particule chargée électriquement constitue une concentration de charges électriques de même signe. Il en résulte l’apparition d’un champ électrique partout autour.

Ce que dit cette loi, c’est juste que le champ électrique ($\vec{E}$), est divergeant (ou convergent, selon la signe de la charge) depuis la source (les charges, donc) et est proportionnel à la distribution ($\rho$) de ces charges.

Le champ électrique autour d’une charge est donc comme un oursin, où les épines constituent les lignes de champs, partant du centre et divergeant vers l’infini ; plus il y a de charges, plus le champ est intense.

C’était simple, non ?

Équation de Maxwell-Thomson

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{B} = 0$$
« La divergence du champ magnétique est nulle. »

Ici, il n’y a pas divergence du champ magnétique : les lignes de champ magnétique ne partent pas vers l’infini. À la place, les lignes de champ sortent d’un pôle pour aller dans l’autre.

Cette loi traduit le fait simple qu’il n’existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle « sud » ou « nord » d’un aimant n’existe pas (alors qu’il existe des monopôles électriques, comme l’électron, négatif, ou le proton, positif).
Si l’on brise un aimant en deux, on obtient deux aimants avec chacun son pôle nord et son pôle sud.

Mathématiquement, la loi peut aussi être lue comme « les lignes de champ magnétique sortant d’un des pôles d’un aimant rentrent dans l’autre pôle ». Cette formulation explique mieux le fait que la somme de toutes les lignes de champs est égale à zéro : ce qui sort d’un côté rentre de l’autre et final on ne perd ni ne crée rien.

Si la forme des lignes de champ électrique est celle d’une source d’où les lignes s’éloignent, les lignes de champ magnétique sur un aimant sortent d’un côté et rentrent de l’autre, comme on a l’habitude de les représenter depuis longtemps.

Équation de Maxwell-Faraday

$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
« Le rotationnel du champ électrique est (inversement) proportionnel à la variation du champ magnétique au cours du temps. »

Prenez un cyclone et coupez-le de la même façon qu’on coupe un arbre : on voit des lignes circulaires formées par les nuages tourbillonnants. Plus au s’approche de l’œil du cyclone, plus les vents sont rapides. Pour le cyclone, le rotationnel du champ des vitesses dépend de la distance à l’œil du cyclone.

Si on prend un champ magnétique variant dans un conducteur, alors il apparaît un champ électrique rotatif autour de l’aimant.

Dans l’équation de Maxwell-Faraday, le rotationnel $\vec{\nabla} \times$ est (inversement) proportionnel à la variation $\frac{\partial}{\partial t}$ du champ magnétique $\vec{B}$.

En effet, c’est la variation du champ magnétique qui produit un champ électrique et non le champ magnétique tout seul. Si vous placez un aimant dans une bobine, il ne se passe rien. En revanche, si vous agitez l’aimant, alors il se crée un champ électrique autour (qui lui-même va générer un courant électrique dans le fil). C’est pour ça que la dynamo de votre vélo n’alimente les lumières que quand vous roulez, et pas à l’arrêt.

Cette particularité de dépendance des phénomènes électriques à la variation du champ magnétique est cruciale et a été découverte par Faraday il y pratiquement 200 ans.

Équation de Maxwell-Ampère

$$\vec{\nabla}\times \vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
« Le rotationnel du champ magnétique est la somme de sa dépendance à la variation du champ électrique au cours du temps et d’un courant électrique fixe. »

Cette équation-ci dit que le champ magnétique a pour cause la variation du champ électrique au cours du temps. Le terme $\mu_0 \vec{\jmath}$ ajoute que le champ magnétique est également dépendant d’un courant électrique dans le cas d’un conducteur électrique (le courant n’a pas besoin de varier pour qu’il y ait un champ magnétique, alors que le champ magnétique, lui, doit varier pour engendrer un courant).

Les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday montrent à elles deux que les deux champs électriques et magnétiques sont couplées et que la variation de l’une est proportionnelle à l’intensité du champ de l’autre.

Les deux équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday traduisent la conversion de la composante magnétique d’une onde électromagnétique en sa composante électrique et vice-versa, alternativement. Une onde électromagnétique peut donc se propager sans autre support qu’elle même.

Remarquez que si l’on retire le terme $\mu_0 \vec{\jmath}$, on retrouve le symétrique de l’équation de Maxwell-Faraday.

Conclusion

On peut remarquer que les équations de Maxwell ont toutes un nom, et à chaque fois avec le nom d’un autre physicien. En fait, les travaux de Gauss, Thomson (plus connu sous le nom de Lord Kelvin), Ampère et Faraday sur le magnétisme et l’électricité n’avaient pas grand chose pour les lier, si ce n’est que Faraday avait déjà montré leur couplage de façon expérimentale. Maxwell a alors repris leur différents travaux et a constitué toute une base mathématique, avec des équations, pour créer toute la loi de l’électromagnétisme.

Son génie mathématique lui a permis ainsi de condenser une vingtaine de lois décrivant des phénomènes simples et plus ou moins indépendantes dans seulement quatre équations cohérentes. L’élégance des équations de Maxwell n’enlève cependant rien à la complexité des calculs et applications numériques qui peuvent en découler, je vous préviens !

Enfin, sachez que parfois la Force de Lorentz est ajoutée aux quatre équations ci-dessus. Elle permet de calculer l’orientation et l’intensité de la force subie par une particule ou un corps chargée plongé dans un champ magnétique.

image de Murilo Cardoso

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TD a dit :

Ton article est excellent. Si seulement j’avais lu cet article quand j’étais en licence... Timo, à quand le livre comprendre simplement ses cours de physique ?

Lorsqu’elles sont démontrées en cours d’électromagnétisme, les équations de Maxwell sont présentée simplement comme des relations mathématiques soit-disant fondamentales à connaître par cœur, mais leur sens physique n’est pas explicité. Pourtant, ce sens physique est trivial à la lecture des équations.

J’ai par contre repéré un anglicisme : le dernier mot du dernier paragraphe. En français, on dit « cohérent » et pas « consistant ».

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Le Hollandais Volant a dit :

@TD : C’est justement parce que je n’ai pas eu ces mêmes articles quand j’étais moi même en licence que je fais ce genre d’articles plus académiques qu’à l’ordinateur (et ces pages aussi).

Lorsqu’elles sont démontrées en cours d’électromagnétisme, les équations de Maxwell sont présentée simplement comme des relations mathématiques soit-disant fondamentales à connaître par cœur, mais leur sens physique n’est pas explicité. Pourtant, ce sens physique est trivial à la lecture des équations.

C’est parfaitement ça.
La raison, je pense, est que le prof considère la physique comme innée chez tous les étudiants, et ne montrent donc que les maths. Si j’avais eu connaissance des chaines youtube comme Veritasium, MinutePhysics ou PeriodicsVideos au moment de commencer mes études, j’aurais probablement eu le goût et l’envie de poursuivre.

Un autre problème que j’ai rencontré avec les profs, c’est leur manie de répondre toujours à côté de la plaque : tu leurs demande « pourquoi ça fait ça ? » ils répondent avec des formules et un calcul barbare qui te font accepter par A+B le phénomène physique, alors qu’au fond tu n’as toujours pas compris ce qui se passe au plus bas niveau de la physique, de la matière… Ça m’a rapidement lassé, ce genre de choses.
Juste pour dire : aucun prof n’a jamais été capable de m’expliquer ce qu’était une flamme/du feu ou encore la tension électrique, alors qu’au fond, c’est là aussi extrêmement simple…

Merci pour la correction, sinon (et merci aussi à @GrammarNZ, dont je n’ai pas publié le commentaire, mais dont j’ai pris en compte les erreurs d’orthographe :)).

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Alty a dit :
Son génie mathématique lui a permis ainsi de condenser une vingtaine de lois décrivant des phénomènes simples et plus ou moins indépendantes dans seulement quatre équations cohérentes.

Attention, c'est Heaviside qui a réduit les 20 équations de Maxwell sur des quaternions en 4 sur des champs de vecteurs. D'ailleurs, certains scientifiques parlent d'« amputation » des équations originelles de Maxwell, mais à vrai dire je n'ai jamais pu vérifier la justesse de ces allégations.

Très bon article sinon. Je pense qu'il faudrait des cours d'interprétation d'équation en licence, ça permettrait aux étudiants de comprendre comment elles modélisent la physique.

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TD a dit :

@Alty. — plutôt que créer des cours dédiés, je pense qu’il vaudrait mieux que les enseignant prennent quelques minutes pour expliquer les formules importantes.

Il me vient à l’esprit qu’en lisant simplement les formules en utilisant la signification des divers opérateurs, on peut mieux appréhender ce qu’elles signifient. C’est ce que fait ici Timo sous chaque formule. En disant « la divergence du champ magnétique est nulle » ou « le rotationnel du champ électrique est inversement proportionnel à la variation du champ magnétique au cours du temps » au lieu de « nabla scalaire B égale zéro » (ou « div de B égale zéro ») et « nabla vectoriel E égale moins d rond B sur d rond t » (ou « rot E… »), la signification de la formule commence à apparaître. Je ne sais pas si cette méthode est fiable pour toutes les expression, notamment pour certains opérateurs portant un nom arbitraire (par exemple le laplacien, qui est le produit scalaire du nabla avec lui-même).

J’essaie avec l’équation de Navier-Stokes pour la quantité de mouvement d’une particule fluide : $$\frac{\partial\rho\vec v}{\partial t}+\vec\nabla\cdot(\rho\vec v\wedge\vec v)=-\vec\nabla p+\vec\nabla\cdot\tau+\rho\vec f.$$ ça donnerait, sans trop réfléchir, « une ligne de courant s’éloigne des hautes pressions, des contraintes importantes et suit les champs de forces ».

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The Ultimate Gibbon a dit :

Chouette article ! Effectivement, ça aurait été cool d'avoir ça en licence. Et ouais, il faut TOTALEMENT expliquer les opérateurs de la même façon, au lieu de juste balancer des formules à appliquer.. Je crois que c'est un truc très français : se focaliser sur les maths et oublier ce qu'on essaie de décrire. Juste pour faire chier un peu : la phrase "Leur simplicité à comprendre ne simplifie par contre pas les calculs qui peuvent en découler ;)." est pas top !

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Le Hollandais Volant a dit :

@The Ultimate Gibbon : j’ai reformulé en « Par contre, la simplicité des équations n’enlève rien à la complexité des calculs qui peuvent en découler ;). ».
C’est vrai qu’il y avait une répétition.

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nonos a dit :

@TD :


Presque d'accord !

En fait, c'est exactement ce que j'ai pu ressentir à l'époque aussi,

mais avec un peu de recul, je pense que - peut-être - nous avons aussi manqué de curiosité et d'autonomie. ^^"

Merci pour l'article en tout cas.

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TD a dit :

@nonos. — Oui, il est clair que nous aurions dû approfondir par nous même.

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Géo le curieux a dit :

Merci de traduire en français, une langue que je comprends, le langage schtroumf (ou ésotérique comme celui des alchimistes) des mathématiciens. J’avais essayé de comprendre un article d’Einstein où il se proposait de nous expliquer sa théorie avec des mots et peu de maths, mais très vite les formules mathématiques prirent le pas sur les phrases explicites. Heureusement d’autres savent faire la traduction ce qui permet de comprendre. Quand il s’agit de physique, donc d’une réalité concrète, il est bon comme vous le faite de ramener sans cesse à cette réalité, bien Terre à Terre, au lieu rester à planer dans les abstractions. Encore merci, je me sens maintenant moins bête devant la théorie de Maxwell, même si, en authentique primate, je suis resté un peu gibbon.

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Le Hollandais Volant a dit :

@Géo le curieux : Je pense que la physique peut s’expliquer qualitativement sans équations. Les équations ne servent qu’au quantitatif.

Pour la théorie d’Einstein, le niveau est un cran au dessus de celui de Maxwell (qui est déjà haut), mais pour la Relativité Restreinte (RR) je peux tenter ça (qui n’est pas de moi, mais que j’ai trouvé remarquable) : « Plus on se déplace vite dans la dimension de l’espace, moins on a vite dans la dimension du temps ».
La RR en effet dit que le temps et l’espace ne sont plus fixes, mais peuvent varier. J’ai là une page qui tente d’expliquer ça : http://lehollandaisvolant.net/science/relativite/

La Relativité Générale est plus complexe, elle fait intervenir la gravité dans tout ça. Elle dit en gros que « plus j’ai une masse importante, plus je perturbe la structure de l’espace-temps autour de moi ».

Ici, l’espace et le temps ne font plus qu’un ensemble : l’espace-temps. Et cet ensemble peut être altéré par la présence de masse (ou d’énergie, c’est équivalent) : l’énergie déforme l’espace-temps. Une des conséquences est ce qui est montré dans le film Interstellar : si on est proche d’une masse importante (comme un trou noir), alors le temps s’écoule plus lentement pour nous que par rapport à quelqu’un resté loin du trou noir.

Tu peux voir cet article si tu veux essayer d’approfondir un peu ça.

Bien-sûr, la Relativité et les équations de Maxwell ne peuvent pas se résumer en quelques phrases : c’est bien pour commencer, mais ces théories ont des applications incroyablement diversifiées qui demandent quand même quelques calculs pour s’en rendre compte et surtout pour les découvrir.

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adem a dit :

c'est très bien élucidé, j'ai appris beaucoup de choses.

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KostelL a dit :

Bravo
Merci
Merci
Et Encore Merci

Ton article va sauver des vies d'étudiants jusqu'à la fin d'internet je pense !!

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Poulpo a dit :

@Le Hollandais Volant : je ne partage pas ton exemple de phrase sur la RR... Car Galilée précise bien... Et c'est reprit par Einstein... "Le mouvement n'est comme rien" (sous-entendu rectiligne uniforme)

donc plus on va vite et plus ton temps propre pour toi qui est dans le transport... Bien... Ne change pas... 2h à ta montre sur terre est équivalent à 2h à ton montre si tu voyages à 99% de C. Là où on remarque une désynchronisation des horloges entre le cours du temps pour un observateur extérieur et un celui qui est dans le vaisseau, c'est au moment de son retour... Lors de la comparaison entre les 2.

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Le Hollandais Volant a dit :

@Poulpo : Tout à fait : que l’on soit sur Terre ou dans un vaisseau (ou même à côté d’un trou noir, pour la RG), si on regarde notre montre, alors on voit toujours la même chose : un tic-tac tout à fait habituel.

Une seconde sera toujours une seconde pour nous.
Mais pas pour quelqu’un d’autre : les "tic-tac" des horloges se désynchronisent constamment, mais ce n’est visible, comme tu dis, que quand on les compare. Les personnes à côté des horloges ne s’en aperçoivent pas (car leur horloge biologique, et l’horloge chimique et physique (rythme de vibration des atomes, etc.) et le temps en lui-même en fait, ralenti par rapport au temps d’ailleurs).

J’imagine que ça fait comme ça quand on passe 20 ans dans le coma : quelqu’un tombé dans le coma en le 01/01/1996 pensera être le 02/01/1996, alors qu’il est en réalité le 01/01/2016. Il verra alors Internet, les smartphones, les films en 3D, les écrans-plats, les voitures volantes (ah non, pas encore).

Tout ceci est très bien représenté dans le film Interstellar : où l’écoulement du temps est bien modélisé : http://lehollandaisvolant.net/science-abuse.net/?d=2015/03/28/19/27/06-la-science-dans-interstellar

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L'ardennais a dit :
Je suis en L2, et franchement c'est top ! J'avais du mal avec les équations de Maxwell, car j'ai du mal à apprendre par coeur sans comprendre la réalité physique qui se cache derrière. Ton article est vraiment bien et permet de saisir le sens physique des équations a priori trop abstraites qu'on nous balance en cours. Merci beaucoup !
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yg a dit :
Bonjour et merci pour cet article
Toutefois il y a une phrase que j'ai du mal à comprendre concernant l'explication de l'équation de Maxwell-Ampère:

(le courant n’a pas besoin de varier pour qu’il y ait un champ électrique, alors que le champ magnétique, lui, doit varier pour engendrer un courant).

Est-ce une erreur ou une incompréhension de ma part?
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Matheos a dit :
Voici une équation rudimentaire qu'elle est la réponse de cette équation de Einstein><
"(7×8+4)-(9÷3+6)×(20÷5)="
Merci pour votre aide à tous.
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John a dit :

C'est magnétique pas électrique ;)

@yg :

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khouloud a dit :

je suis encore une étudiante en 2éme année licence en physique et chimie je trouve cet article très intéressant j'ai vraiment besoin de connaitre la signification physique de tous ses équations de quoi vous me conseiller pour bien comprendre le phénoméne d'électromagnétisme et bien résoudre les problémes concernant ce sujet????

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Le Hollandais Volant a dit :

@khouloud : l’électromagnétique peut être abstrait.

J’avais commencé quelques pages pour résumer à quoi correspondent les grandeurs physiques :
http://lehollandaisvolant.net/science/elec/
http://lehollandaisvolant.net/science/elec/elec-adv.php

En fait, je n’ai jamais rien de trouvé de simple à ce sujet, car les profs s’imaginent que c’est naturel ou inné chez tout le monde. Perso, malgré de très bonnes notes en physique depuis toujours, je n’ai vraiment compris la notion de tension électrique qu’en L2…

Le tout c’est d’essayer de te faire une idée concrète des grandeurs physiques, et de penser "physique" pas "équations". La nature n’a pas besoin d’équations pour fonctionner.

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soundes a dit :

@nonos :
slt j'ai besoin des informations aux équations de Maxwell stp chui algérienne

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Jack a dit :

Rebonjour,
En espérant ne pas être "effacé" cette fois-ci (hier c'était à propos de la notion "inversement") :
"Ce que dit cette loi, c’est juste que le champ électrique est divergeant depuis la source...".
Le champ électrique peut être convergent vers la source (divergence négative), tout dépend du signe des charges.

Bien à vous.

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Eman a dit :

Génial ! Cet article est très bien fait . Il m'aide beaucoup à comprendre les équations de Maxwell. Mais l'equation de Maxwell-conservation des charges où est- elle ?

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Le Hollandais Volant a dit :

@Eman : Qu’appelles-tu « equation de Maxwell-conservation des charges » ?

Les équations de Maxwell ont des noms informels, chacun les appelle un peu comme il veut (même si certains noms sont plus acceptés que d’autres).

Autrement, le principe de conservation des charges n’est pas réellement propre à l’électromagnétisme de Maxwell, c’est d’avantage un principe physique de base, comme la conservation de l’énergie ou la conservation de masse.


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