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↑ Tracé de la fonction demi-exponentielle (jaune), cosinus hyperbolique (rouge) et sinus hyperbolique (vert) qui convergent toutes en $+\infty$ (outil de traçage)

En maths, peut-être avez-vous déjà rencontrés les fonctions hyperboliques : cosinus hyperbolique (cosh), sinus hyperboliques (sinh).
Et peut-être comme moi, vous est-il venu à l’esprit qu’il faut être tordu pour appeler une fonction ainsi. Et bien en fait le nom de ces fonctions n’est pas choisit au hasard (mais les profs n’en parlent pas en cours).

Cet article ne vous donnera pas toutes les propriétés des fonctions hyperboliques, mais vous permettra de comprendre d’où elles viennent.

Les fonctions circulaires

Avant de parler de sinus hyperboliques et de cosinus hyperbolique, parlons de sinus et cosinus. Ces deux fonctions sont connues depuis le collège. Elles tirent leur origines des cercles et des triangles comme on va le montrer : commençons par tracer un cercle. Puis, en plaçant un point quelconque sur le cercle, on peut constituer un triangle formé par ce point et par le diamètre du cercle :

le cercle unitaire avec un triangle inscrit
Le cercle étant alors circonscrit au triangle voit son diamètre être également un des côtés du triangle : ce triangle est rectangle (ceci est valable quelque soit la position du point sur le cercle !).

On peut alors utiliser les fonctions sinus et cosinus, qu’on retrouve dans le cercle :

cosinus et sinus
Le point peut-être placé n’importe où, l’angle qu’il forme avec l’origine permettra toujours de calculer un sinus et un cosinus.

Pourquoi tout ça ? Vous allez comprendre.

Pour trouver le sinus et le cosinus, on a pris un cercle et un point sur ce cercle. Les fonctions sinus et cosinus dans ce cas là sont appelés sinus circulaire et cosinus circulaire, en référence à la figure du cercle que l’on a pris.

Les fonctions hyperboliques

Je pense que vous voyez où je veux en venir : dans le cas des fonctions hyperboliques, ce n’est donc pas un cercle qu’on a pris, mais une hyperbole (d’équation $x^2-y^2=1$) :

fonctions hyperboliques
Les fonctions hyperboliques (co)sinus hyperbolique, (co)tangante hyperbolique, leur inverses et bien d’autres sont issues de cette géométrie là, où on a remplacé le cercle par une hyperbole.
Ces fonctions sont similaires à leurs homologues circulaires, avec des propriétés qui leur sont propres.

Vous pouvez observer les fonctions cosinus-hyperbolique et sinus-hyperbolique dans l’image d’en-tête. Vous pourrez constater qu’elles n’ont rien à voir avec les fonctions trigonométriques circulaires.
Pour les tracer, rendez-vous sur cet outil : Tracer des graphiques, utilisez les fonctions $cosh(x)$, $sinh(x)$ ou $tanh(x)$ (constatez par exemple que $sinh(x)+cosh(x)$ est égal à $exp(x)$).

À la place du cercle ou de l’hyperbole, on pourrait aussi prendre n’importe quelle figure : en plaçant un point sur cette dernière il sera tout à fait possible de trouver une fonction qui donne les coordonnées de ce point, en fonction de l’angle avec l’origine. Ça n’a juste pas tellement d’intérêt : le cercle et l’hyperbole (toutes les deux la famille des coniques) sont des figures particulières avec de nombreuses propriétés mathématiques.

Tout comme pour les fonctions trigonométriques circulaires, il y a des tas d’applications pratiques. Par exemple en astronomie et en astronautique : quand un astéroïde frôle la planète Terre, si sa vitesse est suffisante, sa trajectoire décrit une hyperbole. Les forces gravitationnelles entre la Terre et l’astéroïde peuvent nécessiter des fonctions hyperboliques. Même chose pour le lancement d’un satellite ou d’une sonde spatiale : leur trajectoire est parfaitement calculée et ce calcul a nécessité des fonctions hyperboliques.

Liens

  • Les fonctions trigonométriques : article détaillant les fonctions trigonométriques qui existent en plus de sinus et cosinus, qui ne sont que deux fonctions parmi plein d’autres !

Et mes deux autres articles de vulgarisation mathématique :

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taches de sang
Bien que le sang de certains animaux, comme les crabes ou certaines araignées, soit bleu, celui des vertébrés (et donc des humains) est rouge. Pourtant, nos veines nous apparaissent bleu.

Que se passe-t-il ?

Pour commencer, il y a quelques théories clairement fausses :

C’est la concentration en oxygène élevée dans les artères et faible dans les veines qui fait apparaître les premières en rouge et les dernières en bleue.

Ceci est faux : même pauvre en oxygène, le sang n’est pas bleu : il est certes d’un rouge-ocre un peu moins vif, mais il est toujours d’une teinte rouge et pas bleue.

Le sang est bleu, et c’est seulement au contact de l’air — par exemple quand on saigne — que le sang devient rouge.

Ceci n’est pas vrai non plus : lors d’une prise de sang, ce dernier n’entre pas en contact avec l’air et il est rouge. D’ailleurs, quand le sang entre en contact avec l’air, il a tendance à s’enrichir en oxygène, et il devrait alors rougir d’avantage…

Bon, à présent la vraie raison.
Il y a deux effets à voir :

  • premièrement l’optique physique avec la colorimétrie et l’absorption/diffusion des couleurs par la peau et les vaisseaux sanguins.
  • deuxièmement le rôle du cerveau sur la perception des couleurs.

Les phénomènes d’optique

La lumière du jour contient toutes les couleurs. Or en traversant le sang, le bleu ou le vert sont totalement absorbés, tandis qu’une partie seulement du rouge l’est aussi. La partie restante est quant à elle renvoyée et c’est ce qui rend le sang rouge foncé.

La peau maintenant. On considère une peau dénuée de mélanine, donc claire : elle diffuse et réfléchit toutes les couleurs : elle apparaît blanche.

En revanche, toutes les couleurs ne pénètrent pas à la même profondeur dans la peau : le rouge, de longueur d’onde plus grande, pénètre plus profondément avant d’être diffusée puis réfléchie. Le bleu, lui, est réfléchi bien plus en surface.
Un bout de peau observé par transparence apparaît rouge par transmission : le rouge a le temps de traverser alors que le bleu est bloqué bien avant :

du blanc est renvoyé mais du rouge est transmi
↑ de la lumière blanche est réfléchie, mais seul le rouge est transmis par la peau.

Quand une veine se trouve entre 0,5 mm et 2,0 mm de profondeur environ : c’est là qu’elle semble bleue (plus en surface elle prend la couleur du sang, donc rouge, et plus en profondeur elle est invisible).

Parmi toute la lumière qui revient vers l’observateur, la composante bleue provient de la peau. Souvenez-vous : le bleu ne pénètre pratiquement pas dans la peau et est renvoyé sans jamais avoir atteint la veine.
Pour le rouge c’est différent : cette longueur d’onde est plus pénétrante et atteint le vaisseau sanguin : ce dernier en absorbe une grande partie et réfléchit le reste.

Ce qui se passe est ensuite est une illusions d’optique produite par le cerveau : c’est une question de balance des couleurs entre le rouge et le bleu :

  • Sans veine : la couleur observée contient autant de rouge que de bleu, car la peau a fini par tout réfléchir.
  • Avec la veine : la veine absorbe pratiquement tout le rouge tandis que la peau a déjà renvoyé le bleu : on observe donc les mêmes couleurs, à l’exception du rouge qui est absorbée par la veine.

Il n’y a donc pas plus de bleu, seulement moins de rouge.

Le rôle du cerveau

Donc il n’y a pas de bleu : pourtant on voit du bleu. Ceci est une illusion d’optique : c’est le cerveau qui voit ça de cette façon.
Il interprète cette absence plus prononcée de rouge comme une présence plus importante des autres couleurs, et en particulier le bleu. Ceci est suffisant pour faire apparaître les veines comme bleues.

En réalité la veine est juste légèrement plus foncée qu’ailleurs, à cause de plus grande absorption, mais elle reste majoritairement rose/beige :

couleur bleue-rouge de la peau
↑ la veine n’est pas bleue, juste « moins rouge ». C’est le cerveau qui interprète ça comme du bleu.

Références :

image de Ray4389

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Un cumulus, nuage de beau temps
Un nuage est une certaine quantité d’eau qui est suspendue dans les air et qui, quand il pleut, retombe sur terre.

Il y a deux questions auxquelles je vais répondre ici :

  • pourquoi un nuage ne tombe pas ?
  • combien pèse un nuage ?

Pourquoi un nuage ne tombe pas ?

Je vous le dis cash : un nuage ne tombe pas parce qu’il est plus léger que l’air !
Oui, bon, je crois qu’il faudra quelques explications en plus ici. Voyons cela.

La formation des nuages sera étudiée dans un autre article, mais pour faire court ici, disons qu’un nuage se forme grâce à l’évaporation de l’eau se trouvant à la surface du globe. L’évaporation, c’est le passage de l’état liquide à l’état de gaz : l’eau « gazeuse* » dans l’air — l’hygrométrie — ce sont des molécules d’eau qui prennent la place des molécules de l’air.

Or, la loi d'Avogadro en thermodynamique dit ceci :

Un volume de gaz comporte le même nombre de molécules, quelque soit le gaz.

Ceci signifie qu’un volume d’air humide contient autant de molécules que l’air sec. Il faut donc comprendre que certaines molécules de l’air ont laissé leur place à des molécules d’eau.

Ceci est important car la molécule d’eau a une masse molaire de 18 g/mol, et celles de l’air de 28,9 g/mol. L’eau gazeuse est donc environ 30% plus léger que l’air : quand l’eau s’évapore du sol, il est plus léger que l’air sec et grimpe.

L’humidité qui monte finit alors par se condenser en altitude, là où il fait plus froid : le nuage à proprement parler se forme et devient visible. À ce stade, il est est toujours moins dense que l’air, et il flotte sur les couches d’air sec en dessous de lui. En plus de cela, de l’air humide continue d’arriver en dessous et le pousse vers le haut, l’empêchant là aussi de tomber.

Pour conclure : le nuage ne tombe pas pour deux raisons : le nuage flotte sur des couches d’air plus denses que lui et l’air humide continue de le pousser vers le haut, l’empêchant de tomber.

Combien pèse un nuage ?

Un nuage est plus léger que l’air : s’il se trouvait au niveau du sol et que vous pouviez vous y accrocher, il vous soulèverait comme le ferait une montgolfière. Le nuage ne peut donc pas être pesé au sens couramment employé.
En revanche, on peut bien-sûr estimer combien d’eau est contenu dans un nuage, et c’est ce que je vais faire.

Tous les nuages ne sont pas identiques : certains contiennent plus d’eau que d’autres et ils ont des tailles variables. Pour le calcul, prenons on nuage typique : un cumulus (photo), ou « nuage de beau temps ».

Ces nuages se forment lorsque quand il fait beau et un peu humide mais pas excessivement chaud. Le cumulus ne produit généralement pas de pluie et ne fait que passer au dessus de nos têtes. Il se dresse sur plusieurs centaines de mètres de haut et s’étend sur autant (voire plus) en largeur. Leur teneur en eau est d’environ 0,30 grammes d’eau par mètre cube.

Pour simplifier les calculs, prenons un cumulus en forme de cube de 500 mètres de côté.

Son volume est donc de $v = 125 millions m^3$

La teneur en eau d’un cumulus est, je l’ai dit, de 0,30 grammes par mètre cube. Ce n’est pas beaucoup : il faut 10 mètres cube pour remplir une cuillère à café, mais notre nuage, si immense qu’il est, contient une masse d’eau de :

$$m_{eau} = 37,5 tonnes$$

Ça représente 37,5 mètre cubes d’eau liquide contenus dans un seul cumulus de taille moyenne et flottant au dessus de votre tête. Ce n’est pas mal, non ?

Certains nuages peuvent être beaucoup plus gros et plus massifs : les cumulonimbus font partie des plus gros d’entre eux et sont responsables des gros orages estivaux, avec grêlons, vent, foudre et fortes pluies. Leur hauteur peut atteindre 15 km et leur étalement en forme d’enclume s’étale sur plusieurs kilomètres. Pour ne rien arranger, leur taux d’humidité est environ 10 fois plus forte que le cumulus.

La quantité d’eau contenue dans un tel nuage est par conséquent énorme : un cumulonimbus peut transporter jusqu’à 50 000 tonnes d’eau, soit autant que 20 piscines olympiques !

Conclusion

Les nuages ne sont pas tous identiques, ni en taille, ni en teneur en eau. Les nuages typiques, les cumulus, transportent quelques dizaines de tonnes d’eau, mais certains nuages d’orage transportent plusieurs dizaines de milliers de tonnes d’humidité, qui s’abat alors au sol dans des pluies importantes.

Ressources :

image de Ellen M

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