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Le but ici est de tracer un pentagramme à la règle (non-graduée) et au compas, sur un papier vierge. Ça peut sembler un exercice trivial, mais ça ne l’est pas : l’angle du pentagramme fait $72 \deg$ : vous savez le faire, ça (plot twist : c’est possible !) ?

En fait, toutes les figures régulières ne sont pas traçables à la règle (non graduée) et au compas. Le triangle et le pentagone régulier sont traçables, mais pas l'heptagone ou l'ennéagone par exemple. Ici je vais m’attarder sur le pentagone, et plus précisément le pentagramme (qui n’est autre qu’un pentagone étoilé).

Le pentagramme est une figure haute en symbolisme, mais je ne parlerai pas de ça ici.

Quand on le trace à main levé, on voit en fait un petit pentagone central avec des triangles isocèles juxtaposés sur ses côtés. Ces triangles sont bien particuliers : leur angle au sommet mesure $36 \deg$ et leurs angles à la base chacun $72 \deg$, soit le double de l’angle au sommet.
Cette dernière propriété est remarquable et en fait un triangle d’or (le rapport des longueurs des côtés vaut par ailleurs $\phi$, le nombre d’or).

Le nombre d’or, le triangle d’or et le pentagramme sont intimement liés, et la plupart des méthodes pour tracer un pentagramme de façon exacte font intervenir le tracé intermédiaire d’un triangle d’or.

Ma méthode pour tracer un pentagramme débute elle aussi par le tracé d’un de ces triangles d’or (à partir du rectangle d’or). Ce triangle d’or va constituer une des branches du pentagramme.
Ce n’est pas la méthode la plus rapide et encore moins la seule, mais c’est celle que j’ai mise au point et que j’utilise :

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J’y vois quelques avantages :

  • On part du rectangle d’or, que tout le monde connaît et qui est très simple à tracer, puis du triangle d’or qui vient alors naturellement.
  • L’orientation et la taille du rectangle d’or initial donnent directement l’orientation du pentagramme et la taille d’une des branches de l’étoile. Les autres méthodes (comme celle d’Euclide) partent d’un triangle d’or qui n’est pas dans l’orientation du pentagramme final (il n’en fait même pas partie) ni n’a la taille du pentagramme ou d’une de ses branches, ce qui rend son orientation et le calcul de sa taille un peu plus compliqués.

Un inconvénient de ma méthode :

  • beaucoup de tracés intermédiaires, donc un bon nombre de risques d’imprécisions. La méthode décrite sur Wikipédia ici est bien plus rapide et précise (mais que je vous rassure : les imprécisions éventuelles sont imperceptibles dans le résultat final).

Bref, commençons.

Tracé du rectangle d’or

Comme je l’ai dit, on débute par tracer un rectangle d’or. Pour ça, on commence par tracer un carré.
(pour ceux qui ne savent pas comment on fait ça : tracez un cercle, puis un diamètre ; tracez la médiatrice du diamètre (au compas) : vous avez alors deux des quatre côtés reliés par un angle droit ; il suffit ensuite de tracer le quatrième point du carré avec le compas).

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Ensuite, trouvez le point E, milieu de AD (avec la méthode du tracé de la médiatrice du segment AD), et tracez l’arc de cercle de centre E et de rayon EC. Ceci permet de trouver le point F :

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Tracez — toujours avec la méthode de la médiatrice — la perpendiculaire à l’axe horizontal passant par F ; l’intersection de cette perpendiculaire avec la droite BC donne le point G :

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Le rectangle ABGF est un rectangle d’or :

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Tracé du triangle d’or, première branche de l’étoile

Le triangle d’or aura pour base le segment AB, et les deux autres côtés auront la longueur du rectangle. Il suffit de tracer le point H au compas, de telle sorte que AH = BH = AF :

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Voilà, la partie la plus difficile est passée : créer la première branche du pentagramme.

Tracé des branches 2 et 3 du pentagramme

Pour ça, on va tracer les premiers côtés du pentagone inscrit au pentagramme puis les deux branches de l’étoile.
Tracez la droite portée par le côté BH du triangle d’or, puis repérer le point I sur cette droite, tel que AI = AH :

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Faites pareil de l’autre côté, pour obtenir le point J :

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Repérer le point K, tel que IK = BK = BH :

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On a alors la seconde branche du pentagramme.

Faites pareil de l’autre côté pour obtenir le point L, troisième sommet du pentagramme, et tel que que AL = IL = AH :

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On a alors la troisième branche.

Tracé des branches 4 et 5 du pentagramme

On a presque terminé.
Il suffit de tracer les droites portées par les segments KI et LJ :

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L’intersection de KI et LJ donne le point M, dernier sommet du pentagone central.
Les intersection de KI et AH, et de LJ et BH donnent les derniers sommets du pentagramme et donc les deux branches manquantes :

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Obtention du pentagramme final

Notre pentagramme HNLKO est terminé :

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Comme vous voyez, c’est la dimension du rectangle d’or initial qui donne environ le taille d’une branche.
Je reprécise également que ceci est une méthode exacte, pas approchée. Mathématiquement, le pentagone ici est exact.


Pour ceux que ça intéresse, pour réaliser les schémas/figures, j’utilise l’outil JSXGraph qui permet de tracer graphiquement des figures et autres courbes/formules en JavaScript. J’utilise une version améliorée au moyen de mon propre outil, par exemple visible ici.

image d’en-tête d’Avery Edison

5 commentaires

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Guenhwyvar a dit :

Et si tu veux faire des puzzles de ce genre : http://euclidea.xyz/ (très simple au début, mais ça devient vite chaud !)

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Le Hollandais Volant a dit :

@Guenhwyvar : je connais :D
Je n’y ais pas joué depuis des mois, mais je l’ai réinstallé (sans y rejouer encore) avant-hier !

Le plus chaud c’est de respecter le nombre d’actions (nombre de traits, de cercles…) qu’on a le droit de faire.

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Guenhwyvar a dit :

Oui, y'en a plusieurs que j'ai passés, mais sans avoir toutes les étoiles. Et après j'ai été complètement bloqué au B-16 ou B-17, un truc comme ça, et j'ai un brin abandonné…

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Le Hollandais Volant a dit :

@Guenhwyvar : j’étais resté bloqué aussi à un moment, mais je ne sais plus où.
Je te redirais :D

Ça serait marrant qu’il y ait le pentagramme à faire \o/


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