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le nombre pi sur une calculatrice
Cet article est posté un 14 mars, soit le 14/3, ou encore le 3.14 dans sa notation américaine. « 3.14 » signifie également le nombre Pi, noté $\pi$, utilisé en mathématique et en géométrie (et également partout en physique, et même ailleurs).
De façon anecdotique, il s’agit également le jour de naissance d’Albert Einstein, ainsi que le jour (aujourd’hui, si vous lisez ceci en 2018) où Stephen Hawking nous a quitté.

Dans l’ensemble, ceci est donc l’occasion idéale pour célébrer les sciences, et donc d’écrire un article pour ce blog, et plus spécifiquement un article faisant intervenir le nombre Pi. Pour cela, j’ai jugé intéressant de démystifier le radian, l’unité du système international pour mesurer des angles.

Mesurer des angles

Généralement, pour mesurer des angles, on utilise des degrés angulaires, notés « ° ».
L’idée de cette unité, c’est que l’on a pris un angle plein (donc un cercle) que l’on a découpé en 360 angles égaux. Chacun de ces angles mesure donc 1 degré.

Parfois, dans certains domaines comme la topographie, on utilisé le grade pour mesurer des angles : l’idée est identique, c’est simplement que l’on divise le cercle en 400 plutôt qu’en 360. Ceci permet d’avoir un angle droit qui mesure 100 grades, ce qui est parfois plus pratique.

La division d’un cercle complet en 360 ou en 400 reste cependant arbitraire : on aurait aussi bien pu diviser le cercle en 50, en 120 ou en 457.
Absolument rien, sinon l’usage qu’on en fait, ne justifie le choix d’une division du cercle plutôt qu’une autre.

Du point de vu du BIPM et de son système des unités de base, ceci n’est pas acceptable et il fallait plutôt préférer une unité qui soit logique, prévisible et non arbitraire. C’est là qu’intervient le radian, ainsi que le nombre $\pi$.

Le nombre $\pi$

On peut décrire un cercle par simplement un seul paramètre : son diamètre. Le diamètre suffit à lui seul pour décrire un cercle. On se sert par exemple du diamètre $d$ du cercle pour calculer son périmètre $P$ :

$$P = \pi \times d$$

Où $\pi$ est la constante dite d’Archimède qui correspond simplement au facteur de proportionnalité entre le diamètre et le périmètre d’un cercle.

Si l’on préfère prendre le rayon $r$, alors on obtient le périmètre de la façon suivante :

$$P = 2 \times \pi \times r$$

Avec un cercle unitaire (donc dont le rayon fait 1 unité), alors son périmètre, mesure exactement $2\pi$.

Les radians

Maintenant que l’on a posé les bases, on peut parler des radians.

Cette unité part de l’idée que la mesure d’un angle sur un cercle constitue tout simplement une mesure d’une portion de son périmètre.

Par exemple, si l’on prend un quart du cercle unitaire, donc en prenant un angle de 90°, alors l’arc de cercle associé mesure exactement un quart de $2\pi$, soit $\frac{\pi}{2}$. Si l’on prend un angle plat, donc un demi cercle, l’arc de cercle mesure simplement $\pi$. Un angle plein correspondant au cercle complet mesure, lui, exactement $2\pi \text{ rad}$.

Le demi-cercle est lui équivalent à un arc dont la longueur mesure 3 rayons et un petit morceau. Ce petit bout mesure 0,14159, de telle sorte que le total du demi-cercle fasse 3,14159… rayons, soit exactement $\pi$ rayons, ou $\pi$ radians.

Un angle de 1 rad correspond quant à lui à un angle qui balaye un arc de cercle dont la longueur est égale à son rayon :

la mesure d’un radian
Une petite animation permet de bien visualiser tout ça :

les radians
Comprendre l’unité du radian (animation)

image d’en-tête de Daniel Dionne

3 commentaires

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AdnX a dit :

Encore un article super instructif. Merci!

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Juju a dit :

Ou se cache le petit morceau "magique" de matière qui manque qui fait que π est irrationnel ?

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Le Hollandais Volant a dit :

@Juju : Il n’y a pas de magie ni rien : c’est juste que le rapport du périmètre d’un cercle sur son diamètre n’est pas un nombre entier, ni rationnel.


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