En fait si MythBuster a plier une feuille de papier 11 fois... mais pas avec les moyens de monsieur Toulemonde :)

http://www.youtube.com/watch?v=kRAEBbotuIE

@jambbon : oui, je sais, mais comme tu dis : une feuille de la taille d’un hangar c’est pas ce qu’on appelle communément « une feuille de papier ».

Pour l'invention de l'échiquier, je connaissait une version qui parait plus simple : le roi propose à l'inventeur la récompense de son choix et celui-ci - connaissant son affaire - demanda une quantité de grains de blé doublée à chaque case et le roi, devant l'humilité apparente de ce choix, accepta sans broncher.

Avec une feuille de papier d'aluminium on peut dépasser les 7 plis ;)

Euh... La légende, ce n'est pas ça. Comme expliqué dans le lien Wiki que tu donnes :

Lorsque le sage Sissa, fils du Brahmine Dahir, lui présenta le jeu d'échecs, le souverain, enthousiaste, demanda à Sissa ce que celui-ci souhaitait en échange de ce cadeau extraordinaire. Humblement, Sissa demanda au prince de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite pour remplir l'échiquier en doublant la quantité de grain à chaque case.

Si à la base, le roi lui proposait des pièces d'or sur chaque case, ce cher Sissa aurait eu tort de demander des grains de riz, une pièce d'or ayant plus de valeur qu'un grain de riz.

L'exemple de l'échiquier est aussi vachement intéressant en terme de complexité, parce qu'il montre que ce type de problème est insoluble à notre échelle.

Mon prof d'algorithmique en école d'ing nous avait dit un truc genre « rien que pour compter les grains de blé, avec un ordinateur d'il y a 20, il aurait fallu un million d'années. Bon maintenant, avec les ordinateurs actuels, on peut le faire en un temps raisonnable. Mais il suffit de rajouter une ligne et une colonne, et on est repartis pour un million d'années... »

Tout le casse-tête de la complexité exponentielle...

Gee: Non vu qu'il y a des formules simples pour ça (somme d'une suite géométrique) :)

@Gee :
@Matheod : je serais plutôt de l’avis de Matheod. Surtout pour les puissances de 2 : en langage binaire c’est très simple :
$2^2 = 100_{(bin)}$
$2^3 = 1000_{(bin)}$
$2^{10} = 10000000000_{(bin)}$

Et l’addition de nombres en binaire (surtout des puissances de 2) est tout aussi simple :
$2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 1_{(bin)}+ 10_{(bin)} + 100_{(bin)} + 1000_{(bin)} + 10000_{(bin)} = 11111_{(bin)}$

Etc.

Le seul problème serait d’avoir des variables assez grandes pour contenir le $2^{81}$ d’une grille 9×9. Mais que je sache, il est possible d’aller très haut. Les formats long (unsigned?) double peuvent aller jusqu’à $2^{16384}$, ce qui est gigantesque.

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadruple-precision_floating-point_format

Autrement je vois pas trop où es le problème.

Oui, j'ai mal formulé le truc, je voulais dire pour « énumérer », pas pour compter (donc en gros, faire une boucle simple qui parcourt chaque grain de riz sans rien faire d'autre). Sinon oui, trouver la valeur du total, en soi, c'est trivial.

Bonjour,
J'ai vraiment besoin d'aide pour un exercice :

Voici la consigne:
Vers l'an 600, en Inde, le roi, qui s'ennuie à la cour, demande qu'on lui invente un
jeu pour le distraire. Le sage Sissa invente alors le jeu d'échecs, ce qui ravit le roi.
Pour remercier Sissa, le roi lui demande de choisir sa récompense.
Le sage répond qu'il voudrait autant de grains nécessaires, pour remplir l'échiquier
de la façon suivante :
1 grain pour la première case ; 2 sur la deuxième ; 4 sur la troisième ; 8 sur la
quatrième ; … en doublant le nombre de grains jusqu'à la dernière case.
Le roi trouva cette demande bien modeste.


La production mondiale annuelle de blé est d'environ 660 millions de tonnes.
Un grain de blé pèse en moyenne 50 mg.

En considérant seulement les grains de blés posés sur la dernière case de l'échiquier, évaluer combien de
temps il faudrait aujourd'hui pour produire une telle quantité.
Vous présenterez votre démarche en faisant figurer toutes les pistes de recherche, même si elles nn'ont pas
abouti.


Merci d'avance :)

Il suffit de voir que :
– la case 1 contient 2^0 grains
– la case 2 contient 2^1 grains
– la case 3 contient 2^2 grains
– …
– la case n contient 2^(n−1) grains.

À partir de là, tu calcule :
– la masse de blé sur la dernière case (connaissant la masse d’un grain de blé)
– le nombre d’années qu’il faut pour produire ça (connaissant la production de blé en un an).
N’oublies pas de convertir les milligrammes en tonnes.

C’est tout.

y a pas 64 cases dans un jeu d'echec ???????

@YOLO : si ?

Par contre, dans:

a(0)+a(1)+a(2)+a(3)+...+a(63)=.....

Ce ne serai pas plutôt 64 au lieu de 63 vu qu'il y a 64 cases dans l'échiquier ?

@Emily Smartiz : nope, car la numérotation commence à 0 et non pas à 1.

La première case est la case a(0) ;
La deuxième case est la case a(1) ;
La troisième case est la case a(2) ;
…
La soixante-quatrième case est la case a(63) ;

Il y a bien 64 cases, mais on ne va donc que jusqu’à 63.

C'est marrant mais si on compte en binaire c'est beaucoup plus simple que les puissance vus que la première case compte 1 grain de riz en binaire 1=1 2=10 4=100 8=1000 jusqu'à 64 et ensuite tu convertis en décimal et voilà
ce qui donne 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000=9 223 372 036 854 775 808

Ce qui me pose problème, dans ce calcul, c'est pourquoi on retire 1 au résultat final...Le premier grain a bien une valeur arithmétique puisqu'il est à la base des additions (ou mises en puissance).

@Laure : on ne retire pas le premier grain ! C’est juste que la première case comporte $2^0$ grains, (ce qui est égal à $1$). La deuxième case possède $2^1=2$, etc. La 64e case comporte $2^{63}$ grains, et non pas $2^{64}$ !

Or, il se trouve que l’on a cette égalité :

$$\sum\limits_{i=0}^n 2^n = 2^{n+1} - 1$$

En gros, la somme de toutes les puissances de deux, de 0 à 63, c’est égal à $2^{64}-1$.

Pour le dire autrement : une case donnée a autant de grains que toutes les autres cases avant elle réunies… plus un grain.

Donc, l’ensemble des 64 cases a autant de grains qu’une hypothétique case n°65, moins un grain.

Tu peux d’ailleurs le vérifier pour, disons, $n=3$ :

$\text{S} = \sum\limits_{i=0}^3 2^n$
$\text{S} = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3$
$\text{S} = 1 + 2 + 4 + 8 = 15$

Et :
$\text{S} = 2^4 - 1$
$\text{S} = 16 - 1 = 15$

Donc $2^4 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 -1$

@Le Hollandais Volant : Merci, ça devient limpide.

▬JFP¦¦20200327¦¦ Si on énumère les premières valeurs de la puissance de deux comme 1, 2, 4, 8, 16. Le 16 final est égal à somme des valeurs précédentes plus UN comme suit (8+4+2+1)+UN. Maintenant la question est pourquoi faut t-il ajouter +UN à la somme des nombres précédents Ɂ La raison semble très simple quand on va seulement jusqu'à la valeur 2 qui est 2E1=2 qui est la base, les nombres précédents est seulement le UN qui est E2E0, et donc la somme de UN plus rien n'est pas égale à DEUX, car il n'y en fait il n'y a pas de somme, mais seulement le nombre UN. Il faut dire aussi que tous nombres exprimés par une base quelconque et ayant une puissance de 0 (zéro) est égal à 1 (un).
▬De toutes façons d'additionner des valeurs de cette base DEUX qui elles sont toutes paires, cloche complètement avec la première valeur de cette base deux,qui est UN et est impair. Si nous avions commencé à mettre sur la première case de notre échiquier directement la base Deux et donc deux grains, l'addition des précédentes valeurs par rapport à une valeur multiple de cette base DEUX ne fonctionnerait pas plus, car il manquerait systématiquement la valeur deux qui est la base. Ainsi 2, 4, 8, 16 pour avoir c 16 cela donnerait 8+4+2 où il faut rajouter non YUN mais la base 2.
Pour reprendre ce qu’est une base à la puissance zéro comme 2E0=10E0=100E0...=1. Mettre la puissance zéro à n'importe quelle base correspond toujours à la valeur 1. En réalité il y a confusion entre ce que l'on veut exprimer, car la case 1 qui est le grain, n'est pas la base 2 ou n'importe quelle autre base d'ailleurs, car le grain est plus ou moins hors base, car il faut considérer que ce premier nombre de un est la base moins la base plus UN, ou encore que c'est a base divisé par la base ce qui donne aussi UN.
▬Prenons maintenant la base 10 et les 4 premières valeurs de cette base 1, 10, 100, 1000. Et bien les explications données pour la base DEUX ne conviennent pas du tout pour cette base 10, Ce qui fait que nos explications qui ne sont que des réflexions sont totalement fausses, où vraies seulement pour la base DEUX et non pour les autres bases.
▬Ce que l'on peut dire c'est que cette convention d'avoir une valeur UN de n'importe quel nombre à la puissance ZÉRO est franchement étonnante mais anormale, et on se demande bien pourquoi un nombre à une puissance zéro donnerait la valeur UN, car la logique aurait été de dire dire que la valeur d'un nombre à la puissance ZÉRO soit ZÉRO et non UN, car tous les nombres à la puissance zéro sont égale à cette valeur de UN et on se demande bien pourquoi ‼‼ Ce qui est même curieux c'est que la valeur de UN à la puissance UN comme celle de ZÉRO fait toujours UN, ce qui est le comble, ainsi 1E1=1E0=1 ce qui stupéfiant et incroyable en mathématique, ce qui prouve que les conventions sont simplement fausses, et que la logique des mathématiques s'appuie sur l'illogique des conventions. Nous pensons que multiplier RIEN par quelque chose ou inversement donnera toujours rien, ainsi 1×0=0 ou 0×1=0, mais pour la division c'est autre chose, car on à le droit d'écrire 0/1=0 mais pas le droit d'écrire 1/0=0. La convention pour la puissance zéro est d'admettre sans doute qu'une puissance zéro soit UN outrepassant la division par zéro, car simplement quand on parle de base, et bien on ne part pas de rien... car le zéro n'existe pas ‼‼ Mais on peut aller encore plus loin dans cette réflexion de puissance zéro, car zéro à la puissance zéro donnerait UN, et la nous tomberons dans le domaine du quantique, où à partir de rien on fait quelque chose. Donc 0E0=1 est d'une très grande beauté ‼‼ EN CLAIR ¦¦ ZÉRO À LA PUISSANCE ZÉRO EST ÉGAL À UN ‼‼ Vive les mathématiques et les conventions ‼‼ Nous ne savons pas si ce que nous écrivons peut être vrai, car les mathématiques ne sont pas notre tasse de thé, mais la logique qui ne s'apprend pas vraiment est notre allié.
▬Les jumeaux JFP/Jean-François POULIQUEN

Franchement, pour faire tout ces calculs, que ce soit avec du riz, du blé ou du café, il faut avoir un petit grain :-)

@EaSy_VoX : . Je l'ai fait avec un tableur (Excel) pour arriver au même résultat que vous en itérant de la case 1 à 64.
Si on continue en disant qu'un grain de blé pèse environ 50mg et qu'une tonne métrique pèse 1,000,000g, on en vient donc au joli poids de Tonnes de blé
922 337 203 685,48 . C'est quand même pas si mal pour un paysan.

Les nombres utilisés au 3è siècle avant JC ne permettaient pas de compter de nombreux objets. Le système des Grecs était celui adopté par les Romains: ils combinent X,V, I, et L. Le plus grand nombre s’arrête à 10’000, la myriade.

La solution inventée par Archimède est d’appeler la Myriade de Myriade (100 millions) l’unité des nombres seconds. Deux nombres seconds égalent 2 myriades de myriades, soit 200 millions.

Une myriade de myriades de sombres seconds (10 millions de milliards) est l’unité des nombres troisièmes

La science moderne a amélioré cette solution d’Archiméde en créant les puissances.

Je vous propose de prendre une feuille. De la froisser, la défroisser et d'y compter les plies ;) ça s’appelle l’origami. Ne pas la sous estimer ;)