Cela suppose que l'on peut diviser le temps et l'espace indéfiniment, or ce n'est pas le cas. On l'a déjà observé avec le temps de Planck, plus petite intervalle de temps mesurable.

Pour les distances il y a la longueur de Planck, elle aussi finie. Ainsi à force de diviser la distance qu'il nous reste jusqu'à l'arbre (et donc le temps nécessaire pour parcourir cette distance) on finira inévitablement par tomber sur l'un ou sur l'autre. Ne pouvant diviser encore la distance/le temps restant(e), on la traverse d'une traite. Fin du paradoxe.

H.S. Le fait que le temps et l'espace ne puisse être découpé en plus petites portions que la longueur et le temps de Planck amènent certains scientifique à supposer que l'on vit dans un univers simulé à la Matrix car le propre de tout univers simulé est d'avoir une résolution spatiale et temporelle finie.

Astuce pour LaTeX : en mode mathématiques (c'est à dire avec MathJax), tu peux insérer du texte avec la commande \text. Ta dernière formule s'écrirait donc :

\text{temps}=\frac{\text{distance}}{\text{vitesse}}

Résultat :

$$\text{temps}=\frac{\text{distance}}{\text{vitesse}}$$

(Bon, ça marchait dans l'aperçu.)

Excellent article, surtout sa conclusion. En physique, les mathématiques ne sont qu'un outil. On peut faire de la physique sans maths car c'est l'observation qui prime.

La notation mathématique me gêne pour plusieurs raisons : la somme porte sur les 1/2^n et non 1/2^(n+1) (ou il aurait fallu faire partir la somme de 0). Concernant la limite, elle est inutile car la somme est déjà infinie. De plus, il aurait fallu utiliser deux variables différentes pour la limite et la somme (l'expression n'a pas de sens sinon).

@Kaito : Très intéressants, ces longueur et distance de Planck. La physique peut donc résoudre ce paradoxe.

Oui il y a confusion dans les notations comme le dit Quentin. Une série est déjà une limite.
Soit on met : S = \sum_{n>1} ... = 8
Soit on met : lim_{n\rightarrow \infty} S_n = lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n ... = 8 (là S_n est une suite)

http://www.priceminister.com/offer/buy/195139381/qu-est-ce-que-la-mecanique-quantique-traduit-du-russe-par-i-sokolov-de-vitaly-rydnik.html

Pour ceux que ça intéresse ;).

@Kaito : oui, exacte, mais c’est pas vraiment ce qu’on veut montrer ici :)

@Quentin Ligier : exact aussi, j’avais changé en cours de route (partir de 1 et mettre 2^n puis partir de 0). Je corrige.

@Le Hollandais Volant : c'est toujours incorrect, ce n'est pas la limite quand n tend vers l'infini de la somme de n à l'infini, mais la limite quand n tend vers l'infini de la somme de k à n. Ou enlève juste le symbole lim, une série est déjà une limite.

Et pour la 1e expression aussi, c'est S et non Sn, la somme ne peut pas dépendre de n puisque c'est une variable muette.

@Flo : ça devrait être ok là.

Pour la première, j’ai remis Sn du coup. Si je mets S, à quoi me sert la limite dans la 2 ?
Édit : nan, c’est bon, je vois maintenant :)

(j’espère que c’est ok là…)

@Le Hollandais Volant : Encore un "n" à supprimer dans la seconde (limite de S et non Sn) et ça sera parfait.

L'excellente chaine youtube Numberphile en a fait une vidéo avec la preuve mathématique. C'est en anglais mais très facilement compréhensible.

@Quentin Ligier : corrigé.

Je connais Numberphile, bien-sûr :).
Mais le paradoxe est là aussi toujours là :p

Ca me fait penser à l'histoire de la mouche :

Deux trains sont sur la même voie de chemin de fer, une belle ligne droite. Ils vont l'un vers l'autre, chacun à la vitesse de 100km/h. Initialement, ils sont à 200km l'un de l'autre. A cet instant précis, une mouche quitte le premier train et part en direction du deuxième à 150km/h. Une fois arrivée au deuxième train, elle fait demi-tour pour rejoindre le premier train, toujours à 150km/h, puis demi-tour... et ainsi de suite jusqu'au crash des deux trains.
Question : Quelle distance aura parcourue avant de mourir ?
Question bonus : Quelle substance a pris la mouche pour aller à cette vitesse ?

@toufalk : La réponse est assez simple à trouver, si on prend le problème par le bon côté (je connais l’histoire en fait).
C’est en effet le même principe que l’article :p

@Le Hollandais Volant : J'avoue que la première fois, je m'suis remonté les manches et, en brave élève de prépa bien bourin, j'ai commencé sommer...

je trouve absolument fausse ceci :

Néanmoins, ça répond pas au paradoxe : vous aurez toujours une infinité des morceaux de chemins à parcourir en un temps fini… Comment expliquer cela ?
Et bien… On ne peut pas l’expliquer. Le truc en fait, c’est que l’utilisation de la décomposition en une suite de termes n’est pas du tout appropriée pour décrire le problème.

Il faut bien voir une chose : les maths, les équations et la physique sont là pour modéliser les phénomènes que l’on rencontre dans la nature. Cela se passe dans ce sens et pas dans l’autre : si j’écrivais une équation, alors la nature ne changera pas pour autant pour suivre l’équation.
Lorsque l’on constate qu’une modélisation mathématique génère un paradoxe avec l’observation (ici, marcher jusqu’à un arbre ne prend pas un temps infini), alors ça ne sert à rien de contester les faits : il faut changer la modélisation mathématique employée.

Le réel problème qui fait que l'on pense que c'est un paradoxe (mathématiquement parlant), c'est le "il y a une infinité de trajets d’une durée non nulle"

En fait quand on lit ça on suppose qu'il y a un réel strictement positif qui minore tous les petits bouts de trajets. Si c'était le cas, alors on aurait bien quelque chose de non nul que l'on multiplie par l'infini, ce qui donnerait l'infini.

Cependant, ici, ce n'est pas le cas, puisqu'à la fois la distance que l'on parcourt et le temps que l'on met à parcourir tendent vers 0. On a donc une forme indéterminée de type zéro fois l'infini...

En fait, quand on écrit " infinité des morceaux de chemins à parcourir en un temps fini", on peut aussi écrire " infinité des morceaux de chemins à parcourir en une infinité de temps finis" ou bien "chemin fini à parcourir en une infinité de temps finis".


Ainsi, il n'y a aucun paradoxe mathématique...

Comme souvent, on prend quelque chose de simple, que l'on ramène à quelque chose de compliqué, on y fait apparaître quelque chose de contre intuitif et on dit que c'est faux... Alors que c'est parfaitement vrai.


Un peu plus mathématiquement, si l'on sépare les 8 mètres en une "somme infinie de chemins non nuls", et qu'ensuite on s'intéresse à "Combien de temps je mets pour faire chaque petit bout de chemin ?", puis qu'on fait la somme des temps passés pour chaque petit bout de chemin, on retrouve une autre somme de série (qui en fait est la même) qui elle aussi converge, et donc on peut calculer le temps total pour aller jusqu'à l'arbre en passant par les séries pour se rendre compte que le temps total est de... 8 secondes.



La seule modélisation mathématique présente ici c'est de mettre des nombres sur des vitesses/distances/temps. Après, quand on joue mal au matheux et qu'on fait n'importe quoi, on a l'impression que c'est faux, mais ça ne l'est pas.
Ce n'est donc pas "une modélisation mathématique qui ne marche pas", c'est une modélisation mathématique suivie par des calculs suffisamment poussés pour qu'on n'y comprenne plus rien et qu'on pense que ça soit faux.


J'espère avoir réussi à me faire comprendre ^^

Oui je vois ce que tu veux dire : le raisonnement de « la somme infinie donne une distances finie » devrait également être appliquée sur le temps « une somme infinie de durées donne ici une durée totale finie », et à la fin, on retombe bien sur nos pattes : tout concorde, il n’y a pas de vitesse de déplacement infiniment lente ou rapide, mais bien constante ; les fractions de durées sont les mêmes que les fractions de distance.

Donc en fait, oui on peut l’explique (je vais retirer mon « Et bien… On ne peut pas l’expliquer » du coup)

Mais c’est là que vient la suite de ce que j’écris et ce que tu cites : décomposer le temps et l’espace en une suite infinie de termes, c’est perdre son temps. Pour un problème donné, il y a peut-être cinquante-mille solutions, mais il n’y en aura toujours certaines qui sortiront du lot par leur simplicité et leur rapidité par rapport à d’autre.
Et ici, la méthode la plus rapide c’est la méthode de t = d/v et non pas la méthode mathématique compliquée et inadaptée.

Je vois pas pourquoi ce serait un paradoxe, il y aurait paradoxe si la série des instants divergeait mais pas celle de la position. Or ici la série converge

@john doe : C’est un paradoxe parce que la formulation initiale laisse penser le contraire de ce que tu dis au non-matheux.

▬JFP¦¦20200327¦¦Bonjour. Pour nous il y a deux paradoxes, qui est d'abord que les mathématiques ne savent pas vraiment exprimer l'infini, car l'infini est déjà un paradoxe à lui seul, et même si il existe des symboles exprimant l'infini en mathématiques, cette notion n'est absolument pas calculable, car on exprime une continuité sans pourvoir la définir par rapport à autre chose, et si c'est le cas de pouvoir exprimer l'infini en mathématique, et bien les équations ne donneront jamais de valeurs justes car justement infinies, mais exprimeront une notion qui est du même ordre que le problème exposé qui est insoluble. Donc prendre une fraction de l'infini, une tranche, un morceau, une portion ne veut strictement rien dire, car l'infini ne se compare pas et ne se découpe pas. Il est assez drôle d'ailleurs d'utiliser aussi ce terme de quasi quelque chose qui ne veut aussi rien dire quand on emploie l'infini, car le quasi infini ou même le quasi zéro est une aberration. Le deuxième paradoxe est bien celui de l'exposé lui-même qui ne peut pas être une réalité physique comme une réalité mathématique, même si il existe des symboles pouvant définir l’infini. Il y a sûrement d'autres paradoxes comme celui de la dichotomie infinie, et la beauté est justement de poser des problèmes insolubles qui ne peuvent pas être physique. Comme déjà dit l'infini sans même exposer un problème est déjà un paradoxe à lui seul. Comme dans cet exposé on utilise l'infini et bien le paradoxe de l'infini se retrouve dans le problème e l'exposé, c'est aussi simple que cela. Les valeurs de Planck donnant des limites on s'en moque, car on pourrait considérer que ces minimas ne sont là que pour définir une certaine réalité d'action ou d'événement, et donc un quanta d'action minimum, mais un quantum est forcément constitué d'autres notions mais n'entrant pas dans notre réalité. Donc les seuils des valeurs de Planck désignent des minimum d'action, mais on peut considérer qu'il existe des seuils plus petits donnant justement par paquet cette notion de minimum de notre réalité. D'artilleurs si ces particules virtuelles du monde quantique sont données, c'est que justement cela descend en dessous des quanta de Planck. Pour l’infiniment grand cela est autre chose, car nous n'avons pas du tout de seuils maximums, et l'interrogation reste. Mais on peut quand même considérer un vrai paradoxe de cette expansion cosmologique si on considère que l'univers est infini, car faire grossir un espace qui serait déjà l'infini n'a aucun sens, car cela deviendrait de faire grossir l'infini qui n'aurait aucun sens ‼‼
▬Les jumeaux JFP/Jean-François POULIQUEN

▬JFP¦¦20200327¦¦Bonjour. Dans notre précédent message nous avons oublié de donner une conclusion aux paradoxes.
▬Tout exposé utilisant l'infini sera forcément un exposé paradoxal, car l'infini est un paradoxe en lui-même.
▬De faire grossir l'infini est un double paradoxes, car un univers infini et une expansion faisant grossir l'espace.
▬Les jumeaux JFP/Jean-François POULIQUEN

« Cela suppose que l'on peut diviser le temps et l'espace indéfiniment, or ce n'est pas le cas. On l'a déjà observé avec le temps de Planck, plus petite intervalle de temps mesurable.

Pour les distances il y a la longueur de Planck, elle aussi finie. Ainsi à force de diviser la distance qu'il nous reste jusqu'à l'arbre (et donc le temps nécessaire pour parcourir cette distance) on finira inévitablement par tomber sur l'un ou sur l'autre. Ne pouvant diviser encore la distance/le temps restant(e), on la traverse d'une traite. Fin du paradoxe. »

Je pense que ce n’est pas si simple. Oui, la physique quantique a établi l'existence de limites dans l'espace et le temps à partir desquelles les lois de la physique classique ne s'appliquent plus. Les échelles de Planck, avec une longueur de 1,616 x 10^-35 mètres et un temps de 5,391 x 10^-44 secondes, sont souvent citées comme étant ces limites ultimes.

Cependant, la déclaration selon laquelle ces limites signifient que l'on ne peut pas diviser l'espace et le temps indéfiniment est erronée. En effet, la physique quantique ne nie pas la divisibilité de l'espace et du temps, mais plutôt leur caractère discontinu à une certaine échelle. À des échelles inférieures à celles des échelles de Planck, telles que la théorie des cordes, il est possible de diviser l'espace et le temps en des segments encore plus petits, mais les lois de la physique classique ne s'appliquent plus et de nouvelles théories doivent être développées pour comprendre la nature de la réalité à ces échelles.

C'est là que la dichotomie pourrait être utile. Cette approche propose de nouvelles hypothèses et approches pour mieux comprendre les phénomènes à des échelles très petites.

En appliquant cette approche au problème du mur de Planck, il est possible que de nouvelles hypothèses sur la nature de l'espace et du temps à ces échelles soient développées, offrant ainsi une nouvelle compréhension de la réalité à des échelles encore plus petites que celles des échelles de Planck. En d'autres termes, la dichotomie offre une alternative à la vision traditionnelle de la physique quantique, en supposant que l'espace et le temps peuvent être continus plutôt que discontinus, mais divisibles à l'infini.

Cependant, il est important de noter que le mur de Planck lui-même n'a pas été expérimentalement prouvé et est basé sur les lois de la physique actuelle. Il est possible que de nouvelles théories physiques à l'avenir remettent en question ces limites, mais cela ne remet pas en question l'utilité de la dichotomie en tant qu'approche alternative pour comprendre les phénomènes à des échelles très petites.

En somme, la dichotomie ne doit pas être considérée comme une théorie opposée à la physique quantique, mais plutôt comme une hypothèse complémentaire qui propose une nouvelle approche pour mieux comprendre les phénomènes à des échelles très petites et qui peut motiver la recherche de nouvelles théories physiques. L'application de cette approche au problème du mur de Planck pourrait offrir de nouvelles perspectives sur la nature de l'espace et du temps à des échelles encore plus petites que celles actuellement connues.

Dans son paradoxe, Zénon supposait à tort que l'espace et le temps physiques sont constitués d'une quantité infinie de parties réelles, en acte ; or, l'espace et le temps physiques ne sont divisibles à l'infini que potentiellement, en puissance, pas réellement, pas en acte. Je ne peux compter l'infini qu'en puissance, parce que je peux ajouter sans cesse une unité, mais je ne peux le faire réellement, en acte, sans quoi, d'ailleurs, l'infini « finirait » par être mesuré, ce qui est une absurdité. Les 8 mètres qui me séparent de l'arbre sont potentiellement divisibles à l'infini, mais, quand je parcours les 8 mètres qui me séparent de l'arbre, je ne parcours pas en acte une infinité de parties spatiales, et c'est pourquoi je peux l'atteindre.