23 commentaires

C’est sûrement le théorème de géométrie le plus connu (on l’apprend au collège), mais savez-vous le démontrer ?

Le nombre de ses démonstrations (mathématiques et/ou géométriques) ne manquent pas, mais celle que je vais vous présenter ici me semble la plus simple à apprendre : c’est la démonstration par la soustraction des aires, que l’on doit à Abraham Garfield (1831-1881), vingtième Président des États-Unis.

Elle est en effet très courte et on a seulement besoin des identités remarquables et de la formule de l’air d’un triangle rectangle :

démonstration du théorème de pythagore
Dans le principe, on remarque simplement que le grand carré extérieur est formé de quatre triangles rectangles identiques et du carré centrale. Ensuite, on simplifie et on fait en sorte de trouver la formule de Pythagore.

Édit : comme Arzhurb me fait remarquer dans les commentaires, il faut montrer que le quadrilatère central (en blanc) est un carré.

Le quadrilatère est un losange : ses côtés sont tous d’égales longueur, par construction.
Il reste à montrer qu’il est un carré : pour ça il suffit de montrer qu’un des angles est droit.

En prenant un des côtés du grand carré extérieur (carré par construction) comme un angle plat de 180°, on peut le décomposer en trois angles : le petit angle d’un triangle, le grand angle d’un triangle et enfin l’angle du quadrilatère. Or, on sait que la somme des angles d’un triangle est de 180°. En retirant l’angle droit — les triangles étant rectangles — il reste 90°. Ceci correspond à la somme des deux autres angles — le petit et le grand restant. L’angle du quadrilatère de côté C vaut donc 180° – 90° = 90°.

Le losange est alors droit : il s’agit bien d’un carré.

23 commentaires

gravatar
TD wrote:

Je ne suis pas convaincu. En effet, tu ne démontres pas l'aire du carré et celle du triangle ainsi que l'identité remarquable. J'exige les démonstrations !

Plus sérieusement, c'est simple et efficace. Si tu continues ce genre d'articles, tu devrais utiliser MathJax pour insérer des formules de manière très pratique dans tes articles (et peut-être pour les commentaires).

gravatar
Le Hollandais Volant wrote:

@TD : L’identité remarquable est facile à démonter : il suffit de développer ;). Le reste… heu… pour démontrer l’aire du carré, je ne sais même si c’est démontrable :-O.

MathJax, j’en ai entendu parler, oui !
J’ai hésité pour le coup. Je verrais si j’ai d’autres « démonstrations » comme ça, qui justifieraient plein de JS dans ma page.

Pour l’instant, c’est fait avec LaTeX et l’image je suis sûr que ça passe même dans IE (et surtout j’aime beaucoup la police utilisée par ce programme).

gravatar
TD wrote:

@Le Hollandais Volant : on trouve des démonstrations de (a + b)² sur Wikipédia. Après, j'avoue que l'aire du rectangle semble ardue à démontrer.

MathJax utilise la police de LaTeX (Computer/Latin Modern). De plus, c'est censé marcher partout.

gravatar
Arzhurb wrote:

Simple et efficace mais…

On part du postulat que le quadrilatère inscrit est un carré, ce que rien ne justifie a priori.

Il est évident que le problème est invariant par rotation d’angle π/2, montrer une propriété pour un sommet ou pour un côté du quadrilatère revient donc à la montrer pour chaque.

On doit d’abord montrer que les angles du quadrilatère valent π/2. Pour ce faire, on considère α et β les angles opposés aux cotés de mesures respectives a et b dans les triangles, et θ l’angle d’un sommet du quadrilatère. On utilise le fait que la somme des mesures angles d’un triangle est égale à la mesure d’un angle plat (1). Dans notre cas, le triangle est rectangle, donc on a : α+β+π/2=π, soit α+β=π/2. Ensuite, comme α+β+θ est un angle plat, on a : α+β+θ=π, soit θ=π/2. Les sommets du quadrilatère sont donc bien des angles droits.

De plus, l’égalité des côtés découle directement de l’invariance par rotation d’angle π/2 de la figure.

On montre ainsi que le quadrilatère inscrit est un carré.

Il faut donc ajouter la propriété (1) à la liste des prérequis pour ta preuve, mais cela n’enlève rien à sont élégante simplicité !

Cela nous amène à méditer sur l’utilisation de figures en mathématiques. Si elles permettent parfois de simplifier un raisonnement ou de clarifier la formulation d’un énoncé, elles peuvent constituer de sérieux pièges en suscitant des déductions hâtives, voire erronées.

Je ne résiste pas à citer l’introduction du célèbre Mécanique analytique de Lagrange, qui souligne son aversion pour le caractère trompeur des figures :

On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j’y expose ne demandent ni construction, ni raisonnements géométriques, ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme.

Je plussoie TD pour MathJax : cette bibliothèque implémente bien les fontes de LaTeX et se veut compatible avec tous les navigateurs.

gravatar
Le Hollandais Volant wrote:

@Arzhurb :

On part du postulat que le quadrilatère inscrit est un carré, ce que rien ne justifie a priori.

En effet, mais comme tu le dis dans ton explication, ça se montre relativement rapidement avec les angles supplémentaires et complémentaires.

ÉDIT : concernant l’égalité des longueurs, ça me semble justifiée par la construction elle-même. Je ne parle pas du dessin (qui n’est pas une preuve) mais bien de la construction.
Le quadrilatère central est dès lors un losange.

Puis on applique ta méthode pour montrer qu’il s’agit d’un carré en démontrant que les angles sont droits (un seul angle suffit, même).

gravatar
qwerty wrote:

Génial ! Continue ce genre d’articles. Moi qui est une buse en math, j’aime (paradoxalement) les articles mathématiques. Les maths, le code source de la vie ? :D

gravatar
Le Hollandais Volant wrote:

@qwerty : :-)

Le code source, sûrement oui.
Et la physique c’est le langage assembleur ? Ou même compilé ? Ou bien le processeur, qui fait tourner les maths.

gravatar
Simple wrote:

Démontrer l'aire d'un rectangle est très simple. Un rectangle est composé de a colonnes et de b lignes. Pour chaque ligne, on trouve a colonnes. D'où aire = a x b.
Un carré est un rectangle particulier : c x c = c²
Un triangle rectangle est un demi rectangle : a x b / 2

gravatar
qwerty wrote:

@Le Hollandais Volant : J’ai toujours pensé que c’était des couches. Les maths (bas niveau), puis chimique puis biologie. La bio étant de la chimie et la chimie des math, CQFD.

gravatar
Pouet wrote:

Les lois de la nature sont écrites en langage mathématique, comme disait Galilée :p
Les mathématiques ne sont pas si bas niveau que ça, on retrouve des mathématiques à tous les niveaux, même les plus abstraits (voir notamment la théorie de l'information ^^).
Il y a aussi beaucoup de mathématiques en chimie, en biologie, et même (bien qu'utilisées n'importe comment) en économie.

Plus qu'un code source, les mathématiques forment un ensemble d'outils cohérents pour les sciences qui décrivent des phénomènes quels qu'ils soient (macro, micro, etc.). Il s'agit de représentations, qui nous permettent de manipuler nos connaissances à un niveau plus abstrait (et donc plus puissant). Je dirais donc que s'il y avait un code source de l'univers, les mathématiques en seraient le modèle UML :p

gravatar
Simple wrote:

@Le Hollandais Volant : Pourquoi cela ne suffirait pas ? Les petits bouts qui constituent ton rectangle sont des éléments dont l'aire y correspond à la définition d'unité au carré (m², cm²) car y est un carré de largeur 1 et de longueur 1. La quantité de y qui forme ton rectangle est donc bien a x b (soit a x b unité au carré).

C'est probablement de cette façon que l'aire du rectangle a été pensée à l'origine. Pour une définition plus formelle, basée sur les évolutions ultérieures des mathématiques, il s'agit de l'intégrale de x à x + a d’une fonction y = b ;).

gravatar
anon wrote:

comment tu montres que tout les b et tout les a sont égaux?

gravatar
Le Hollandais Volant wrote:

@anon : par construction.
C’est à dire que la figure est construite avec 4 triangles superposables.

On n’a pas vraiment besoin de le montrer : c’est forcément vrai, puisqu’il s’agit d’une donnée de départ.

gravatar
TD wrote:

@romainc : quelle est la faille dans le raisonnement de l'image ?

gravatar
toufalk wrote:

Si vous voulez des preuves du théorème de Pythagore, je vous propose ce lien qui en contient 99 :
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

J'aime beaucoup la preuve #41. Elle est très simple, limpide et un dessin suffit (presque).
Il manque juste la justification du fait qu'on obtient bien un rectangle. Il faut simplement utiliser le fait qu'une homotéthie conserve les formes (donc les angles) et que la somme des angles d'un triangle vaut 180°.

gravatar
Simple wrote:

@romainc :

une intégrale et une somme ne sont pas de la même nature.

Ca tombe bien, parce que je ne fais aucune relation entre les deux. En effet, je donne deux (2) démonstrations, l'une à base de somme, l'autre à base d'intégrale. Les deux sont totalement indépendantes.
De fait, si l'une ou l'autre ne te convient pas, peu importe, l'autre reste valide.

gravatar
Mathieu wrote:

La partie en blanc est un carré par un argument simple : symétrie par rotation de 90 degrés. Par suite, les 4 angles/côtés sont égaux, donc c'est un carré.

Sinon, la somme c'est juste la version discrete de l'integrale, mais c'est la même chose au fond

gravatar
papyjean wrote:

pour justifier que le quadrilatère central est un carré:
- les 4 triangles sont égaux, donc le quadrilatere central est un rectangle
- ensuite a chacun de ses sommets langle plat coté du grand carré se décompose en 3 angles dont deux de 90° donc le troisième appartenant au petit carré et de 90¨

donc, le quadrilatere central est un carré

gravatar
Bass wrote:

Article sympa. Peut-être auriez vous pu ajouter, car c'est une curiosité, que nous devons cette cette démonstration à Abraham Garfield (1831-1881) qui fut le vingtième Président des Etats-Unis.


Votre commentaire sera visible après validation par le webmaster.