Les équations de Maxwell modélisent mathématiquement les interactions entre charges électriques, courants électriques, champs électriques et champs magnétiques. Dit simplement, elles décrivent les phénomènes électriques, magnétiques et lumineux.
Ces équations sont très importantes en physique et tirent leur grande élégance de leur simplicité : juste quatre équations pour décrire le vaste monde de l’électromagnétisme.
Ci-après, on va voir ce que disent qualitativement ces équations, une par une. Au final, vous verrez que c’est juste « beaucoup de maths pour pas grand chose ». En fait, on peut s’en passer pour comprendre le phénomène, mais elles restent indispensable pour les décrire de façon quantitative (et c’est ça qui est compliqué, plus que leur compréhension).
Dans ce qui suit, le champ électrique est représenté par $\vec{E}$ et le champ magnétique par $\vec{B}$.
Équation de Maxwell-Gauss
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
« La divergence du champ électrique est proportionnelle à la distribution de charges électriques. »
Un corps ou une particule chargée électriquement constitue une concentration de charges électriques de même signe. Il en résulte l’apparition d’un champ électrique partout autour.
Ce que dit cette loi, c’est juste que le champ électrique ($\vec{E}$), est divergeant (ou convergent, selon le signe de la charge) depuis la source (les charges, donc) et est proportionnel à la distribution ($\rho$) de ces charges.
Le champ électrique autour d’une charge est donc comme un oursin, où les épines constituent les lignes de champs, partant du centre et divergeant vers l’infini ; plus il y a de charges, plus le champ est intense.
C’était simple, non ?
Équation de Maxwell-Thomson
$$\vec{\nabla}\cdot \vec{B} = 0$$
« La divergence du champ magnétique est nulle. »
Ici, il n’y a pas divergence du champ magnétique : les lignes de champ sortent d’un pôle pour aller dans l’autre.
Cette loi traduit le fait simple qu’il n’existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle « sud » ou « nord » d’un aimant n’existe pas, alors qu’il existe des monopôles électriques, comme l’électron, négatif, ou le proton, positif.
Si l’on brise un aimant en deux, on obtient deux aimants avec chacun son pôle nord et son pôle sud.
Mathématiquement, la loi peut aussi être lue comme « les lignes de champ magnétique qui entrent annulent ceux qui en sortent. ». Cette formulation explique mieux pourquoi le membre de gauche de l’équation est égal à zéro. Ce qui sort d’un côté rentre de l’autre et final on ne perd ni ne crée rien.
Si la forme des lignes de champ électrique est celle d’une source d’où les lignes s’éloignent, les lignes de champ magnétique sur un aimant sortent d’un côté et rentrent de l’autre, comme on a l’habitude de les représenter depuis longtemps.
Équation de Maxwell-Faraday
$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
« Le rotationnel du champ électrique est proportionnel à la variation du champ magnétique au cours du temps. »
Prenez un cyclone et coupez-le de la même façon qu’on coupe un arbre : on voit des lignes circulaires formées par les nuages tourbillonnants. Plus on s’approche de l’œil du cyclone, plus les vents sont rapides. Pour le cyclone, le rotationnel du champ des vitesses dépend de la distance à l’œil du cyclone.
Si on place un aimant dans une bobine en fil conducteur, alors il apparaît un champ électrique rotatif autour de l’aimant.
Dans l’équation de Maxwell-Faraday, le rotationnel $\vec{\nabla} \times$ est (inversement) proportionnel à la variation $\frac{\partial}{\partial t}$ du champ magnétique $\vec{B}$.
Ce que cela veut dire, c’est que c’est la variation du champ magnétique qui produit un champ électrique et non le champ magnétique tout seul. Si vous placez un aimant dans une bobine, il ne se passe rien. Il faut agiter l’aimant pour obtenir un courant dans la bobine. C’est pour ça que la dynamo de votre vélo n’alimente les lumières que quand vous roulez, et pas à l’arrêt.
Cette particularité de dépendance des phénomènes électriques à la variation du champ magnétique est vraiment très importante et a été découverte par Faraday il y a 200 ans.
Équation de Maxwell-Ampère
$$\vec{\nabla}\times \vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
« Le rotationnel du champ magnétique est la somme de sa dépendance à la variation du champ électrique au cours du temps et d’un courant électrique fixe. »
Si l’on retire le terme $\mu_0 \vec{\jmath}$, on retrouve le symétrique de l’équation de Maxwell-Faraday. Effectivement, cette équation est similaire à la précédente : elle dit que la variation du champ électrique induit un champ magnétique.
Le terme $\mu_0 \vec{\jmath}$ ajoute simplement que le champ magnétique est également dépendant d’un courant électrique traversant un conducteur électrique. Le champ magnétique peut donc naître soit avec un champ électrique, soit avec un courant électrique. Les deux sont possibles, car courant électrique et champ électrique ne sont pas la même chose.
Les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday montrent à elles deux que les deux champs — électrique et magnétique — sont couplées et que la variation de l’une est proportionnelle à l’intensité de l’autre.
Elles traduisent la conversion de la composante magnétique d’une onde électromagnétique en sa composante électrique et vice-versa, alternativement. Une onde électromagnétique peut donc se propager sans autre support qu’elle même.
Conclusion
On peut remarquer que les équations de Maxwell ont toutes un petit nom avec Maxwell et le nom d’un autre physicien.
Le fait est que les travaux de Gauss, Thomson (plus connu sous le nom de Lord Kelvin), Ampère et Faraday sur le magnétisme et l’électricité n’avaient pas grand chose en commun. À leur époque, ces phénomènes étaient très différents et rien ne supposait qu’elles étaient liées. Faraday avait déjà montré leur couplage de façon expérimentale, mais n’avait rien démontré.
Maxwell, brillant mathématicien, a repris leur différents travaux et a constitué toute un cadre mathématique commun, avec des équations, pour créer toute la loi de l’électromagnétisme.
Son génie mathématique lui a permis ainsi de condenser une vingtaine de lois décrivant des phénomènes simples et plus ou moins indépendantes dans seulement quatre équations cohérentes. L’élégance des équations de Maxwell n’enlève cependant rien à la complexité des calculs et applications numériques qui peuvent en découler, je vous préviens !
Enfin, sachez que parfois la Force de Lorentz est ajoutée aux quatre équations ci-dessus, mais elle n’est généralement pas compté comme « un des quatre ».
La force de Lorentz permet de calculer l’orientation et l’intensité de la force subie par une particule ou un corps chargée plongé dans un champ magnétique.
