Les équations de Maxwell modélisent mathématiquement les interactions entre charges électriques, courants électriques, champs électriques et champs magnétiques. Dit simplement, elles décrivent les phénomènes électriques, magnétiques et lumineux.
Ces équations sont très importantes en physique et tirent leur grande élégance de leur simplicité : juste quatre équations pour décrire le vaste monde de l’électromagnétisme.
Ci-après, on va voir ce que disent qualitativement ces équations, une par une. Au final, vous verrez que c’est juste beaucoup de maths pour « pas grand chose ». En fait, on peut s’en passer pour comprendre le phénomène, mais elles restent indispensable pour les décrire de façon quantitative (et c’est ça qui est compliqué…).
Dans ce qui suit, le champ électrique est représenté par $\vec{E}$ et le champ magnétique par $\vec{B}$.
Équation de Maxwell-Gauss
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
« La divergence du champ électrique est proportionnelle à la distribution de charges électriques. »
Un corps ou une particule chargée électriquement constitue une concentration de charges électriques de même signe. Il en résulte l’apparition d’un champ électrique partout autour.
Ce que dit cette loi, c’est juste que le champ électrique ($\vec{E}$), est divergeant (ou convergent, selon le signe de la charge) depuis la source (les charges, donc) et est proportionnel à la distribution ($\rho$) de ces charges.
Le champ électrique autour d’une charge est donc comme un oursin, où les épines constituent les lignes de champs, partant du centre et divergeant vers l’infini ; plus il y a de charges, plus le champ est intense.
C’était simple, non ?
Équation de Maxwell-Thomson
$$\vec{\nabla}\cdot \vec{B} = 0$$
« La divergence du champ magnétique est nulle. »
Ici, il n’y a pas divergence du champ magnétique : les lignes de champ magnétique ne partent pas vers l’infini. À la place, les lignes de champ sortent d’un pôle pour aller dans l’autre.
Cette loi traduit le fait simple qu’il n’existe pas de monopôle magnétique. Un monopôle « sud » ou « nord » d’un aimant n’existe pas (alors qu’il existe des monopôles électriques, comme l’électron, négatif, ou le proton, positif).
Si l’on brise un aimant en deux, on obtient deux aimants avec chacun son pôle nord et son pôle sud.
Mathématiquement, la loi peut aussi être lue comme « les lignes de champ magnétique sortant d’un des pôles d’un aimant rentrent dans l’autre pôle ». Cette formulation explique mieux le fait que la somme de toutes les lignes de champs est égale à zéro : ce qui sort d’un côté rentre de l’autre et final on ne perd ni ne crée rien.
Si la forme des lignes de champ électrique est celle d’une source d’où les lignes s’éloignent, les lignes de champ magnétique sur un aimant sortent d’un côté et rentrent de l’autre, comme on a l’habitude de les représenter depuis longtemps.
Équation de Maxwell-Faraday
$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$
« Le rotationnel du champ électrique est (inversement) proportionnel à la variation du champ magnétique au cours du temps. »
Prenez un cyclone et coupez-le de la même façon qu’on coupe un arbre : on voit des lignes circulaires formées par les nuages tourbillonnants. Plus au s’approche de l’œil du cyclone, plus les vents sont rapides. Pour le cyclone, le rotationnel du champ des vitesses dépend de la distance à l’œil du cyclone.
Si on prend un champ magnétique variant dans un conducteur, alors il apparaît un champ électrique rotatif autour de l’aimant.
Dans l’équation de Maxwell-Faraday, le rotationnel $\vec{\nabla} \times$ est (inversement) proportionnel à la variation $\frac{\partial}{\partial t}$ du champ magnétique $\vec{B}$.
En effet, c’est la variation du champ magnétique qui produit un champ électrique et non le champ magnétique tout seul. Si vous placez un aimant dans une bobine, il ne se passe rien. En revanche, si vous agitez l’aimant, alors il se crée un champ électrique autour (qui lui-même va générer un courant électrique dans le fil). C’est pour ça que la dynamo de votre vélo n’alimente les lumières que quand vous roulez, et pas à l’arrêt.
Cette particularité de dépendance des phénomènes électriques à la variation du champ magnétique est cruciale et a été découverte par Faraday il y pratiquement 200 ans.
Équation de Maxwell-Ampère
$$\vec{\nabla}\times \vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$
« Le rotationnel du champ magnétique est la somme de sa dépendance à la variation du champ électrique au cours du temps et d’un courant électrique fixe. »
Cette équation-ci dit que le champ magnétique a pour cause la variation du champ électrique au cours du temps. Le terme $\mu_0 \vec{\jmath}$ ajoute que le champ magnétique est également dépendant d’un courant électrique dans le cas d’un conducteur électrique (le courant n’a pas besoin de varier pour qu’il y ait un champ magnétique, alors que le champ magnétique, lui, doit varier pour engendrer un courant).
Les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday montrent à elles deux que les deux champs électriques et magnétiques sont couplées et que la variation de l’une est proportionnelle à l’intensité du champ de l’autre.
Les deux équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday traduisent la conversion de la composante magnétique d’une onde électromagnétique en sa composante électrique et vice-versa, alternativement. Une onde électromagnétique peut donc se propager sans autre support qu’elle même.
Remarquez que si l’on retire le terme $\mu_0 \vec{\jmath}$, on retrouve le symétrique de l’équation de Maxwell-Faraday.
Conclusion
On peut remarquer que les équations de Maxwell ont toutes un nom, et à chaque fois avec le nom d’un autre physicien. En fait, les travaux de Gauss, Thomson (plus connu sous le nom de Lord Kelvin), Ampère et Faraday sur le magnétisme et l’électricité n’avaient pas grand chose pour les lier, si ce n’est que Faraday avait déjà montré leur couplage de façon expérimentale. Maxwell a alors repris leur différents travaux et a constitué toute une base mathématique, avec des équations, pour créer toute la loi de l’électromagnétisme.
Son génie mathématique lui a permis ainsi de condenser une vingtaine de lois décrivant des phénomènes simples et plus ou moins indépendantes dans seulement quatre équations cohérentes. L’élégance des équations de Maxwell n’enlève cependant rien à la complexité des calculs et applications numériques qui peuvent en découler, je vous préviens !
Enfin, sachez que parfois la Force de Lorentz est ajoutée aux quatre équations ci-dessus. Elle permet de calculer l’orientation et l’intensité de la force subie par une particule ou un corps chargée plongé dans un champ magnétique.
