Images en couleurs réelles d’une lumière blanche décomposée par un prisme.

Cet article fait partie d’une série d’articles sur la lumière.
Bien que ce ne soit pas nécessaire pour comprendre cet article, je vous en conseille la lecture si le sujet vous intéresse :

La question dans le titre peut être réécrite en termes plus savants : « pourquoi existe-t-il un angle de réfraction ? »

Pourquoi dévier ?

Dans mon article sur la diminution de la vitesse de la lumière dans l’eau ou le verre j’explique comment la matière interagit avec une onde lumineuse et comment ça se traduit (par interférences successives) par un ralentissement de la lumière. Dans le verre, par exemple, la lumière se déplace environ 35 % moins vite que dans le vide, ce n’est donc pas rien.

Ce ralentissement, qui dépend du milieu transparent, est lié à la notion d’indice de réfraction optique, noté $n$. En réalité, l’indice de réfraction est le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide $c$ sur la vitesse de la lumière dans le milieu transparent $v$ :

$$n = \frac{c}{v}$$

Ok, avec ça on sait que la lumière va moins vite dans l’eau ou le verre, mais ça n’implique en rien un changement de direction : on peut très bien ralentir tout en continuant sur la même trajectoire rectiligne :

Si la lumière se déplaçait en ligne droite.
Si la lumière se déplaçait en ligne droite.

Dans les faits, on observe bien une courbure :

La lumière est courbée quand elle passe d’un milieu transparent à l’autre.
La lumière est déviée quand elle change de milieu.

On se rend compte que la lumière effectue une action supplémentaire qui complique les choses par rapport à un déplacement en ligne droite. Pourquoi fait-elle ça ?

La lumière ne pense pas

Les observations montrent que la lumière ralentit quand elle traverse des milieux transparents autre que le vide (eau, verre, diamant…). Dans ces conditions, on peut chercher ce qui pousse la lumière à dévier.

Une idée est de noter que le trajet dans l’eau se fait avec une vitesse réduite. Autrement dit, plus elle passe de temps dans l’eau, plus elle perd du temps. La lumière va donc emprunter une trajectoire qui minimise le temps passé dans l’eau et maximise le temps passé dans l’air, histoire de ne pas perdre plus de temps qu’il n’en faut.

Cette idée convient d’un point de vue énergétique : plus le trajet est rapide, moins il dépense d’énergie. Ceci rejoint également le théorème de Fermat, aussi nommé « principe de moindre action ». Ce théorème très connu dit dans le cas de la lumière que cette dernière emprunte le chemin le plus court temporellement pour aller d’un point A à un point B. Ce théorème est démontré : le trajet que la lumière emprunte est bien celui qui demande le moins d’énergie.

Là où je n’aime pas vraiment cette explication, c’est qu’elle semble suggérer que la lumière « pense ». Comment sait-elle que pour aller d’un point A à un point B, elle doit effectuer un crochet en C et effectuer un virage ?

La lumière sait qu’elle doit changer de cap ?
Bien-sûr, la lumière n’est qu’une onde lumineuse : elle ne pense pas.
D’ailleurs, je n’aime pas non plus dire que la lumière voyage d’un point A à un point B en passant par C : la lumière n’a pas de destination. Elle avance, c’est tout. Ce sont les obstacles qu’elle rencontre qui modifient sa trajectoire.

Plutôt que dire « La lumière, pour aller de A vers B, doit passer par C » je préfère dire « la lumière suit une ligne droite entre A et C, est déviée, et cette déviation l’envoie sur B ».

Si on veut que notre rayon de lumière voyage de A vers B, oui, cela implique qu’elle passe par C. Mais si on remplace l’eau par du verre, le rayon de lumière touchera toujours le verre au point C, mais il ne passera plus par B : il loupera sa cible.

La lumière n’a pas de destination précise : si l’on souhaite que sa trajectoire relie deux points, c’est à nous de placer l’eau et le verre au bon endroit pour que le rayon issu de A arrive bien en B.

J’insiste sur ça, mais c’est important : la lumière avance, est déviée, mais elle ne choisit pas d’aller un peu plus loin dans l’air pour faire moins de trajet dans l’eau : non, son trajet initial est déjà celui qu’elle emprunte au départ, et c’est l’eau qui la dévie ensuite avec un angle bien précis.

Bien, maintenant qu’on a clarifié ce point, on peut entrer dans les détails et expliquer comment la lumière est déviée.

Huyghens ou Maxwell ?

Si vous avez lu mon article sur la réflexion de la lumière sur un miroir, vous savez qu’on peut décrire un phénomène de plusieurs façons. Pour l’angle de réfraction il en sera de même.

Dans l’article de la réflexion, j’ai utilisé le principe de Huygens parce qu’il est parlant. On peut l’appliquer ici et on aura le bon résultat : les ondes réémises par les électrons à la surface sont plus rapprochées, avancent moins vite, et donc le front d’onde est dévié.
Mais on se retrouvera également avec les mêmes limitations de ce principe, à savoir qu’on a encore plusieurs fronts d’ondes possibles. Ici donc, je ne vais pas employer le principe de Huygens et passer directement avec une explication impliquant les équations de Maxwell.

Avec la théorie de Maxwell

Dans le cadre des équations de Maxwell, on considère la lumière comme une onde électromagnétique. Comme je l’explique dans mon article sur ces équations, les composantes électriques et magnétiques sont couplées et l’on passe de l’une à l’autre par un peu de calcul différentiel. Dans ce qui suit, nous ne considérerons que la composante électrique de l’onde lumineuse.

La composante électrique oscille de façon perpendiculaire au sens de déplacement de l’onde : si l’onde va vers l’avant, alors le champ électrique oscille de gauche à droite. Quand une onde arrive avec une trajectoire inclinée sur une surface, on peut représenter le champ électrique, perpendiculairement aux rayons :

Le champ électrique de la lumière.
Le champ électrique oscille de façon perpendiculaire à la direction du rayon lumineux.

On voit que ce champ électrique, comme la direction de propagation de l’onde, est incliné. On peut le décomposer : on obtient alors une composante horizontale (ou tangentielle à la surface de l’eau), et une composante perpendiculaire (ou normale à la surface) :

Décomposition vectorielle de la direction de la lumière.
Le champ électrique peut être décomposé en une composante normale $E_n$ et une composante tangentielle $E_t$.

Maintenant faisons pénétrer le rayon dans l’eau. Les équations de Maxwell nous disent deux choses :

  1. que la composante tangentielle n’est pas modifiée : au niveau de l’interface air-eau, cette composante est conservée et reste identique lors du passage de l’air à l’eau. L’oscillation selon l’axe « gauche-droite » du champ électrique reste identique : $E^{\prime}_t = E_t$ ;
  2. que la composante normale, quant à elle, est modifiée et réduite d’un facteur $\frac{\epsilon_{air}}{\epsilon_{eau}} \lt 1$, donc $E^{\prime}_n \lt E_n$.

En somme : la composante horizontale est identique, mais la composante verticale est réduite. Si on fait un schéma :

Schéma du champ électrique qui pénètre dans l’eau.
En passant dans l’eau, la composante normale $E'_n$ du champ électrique est réduite.

On le voit déjà : le vecteur $E'$ semble aplati. Sa direction a aussi changé légèrement à cause de ça. Or, comme le rayon de lumière est toujours perpendiculaire au champ électrique, ce dernier est dévié. L’angle du rayon transmis est différent de l’angle du rayon incident :

Résumé de la transmission du rayon à l’interface air-eau.
En résumé, le rayon est bien courbé quand il pénètre dans un autre milieu transparent.

Notez que si le rayon de lumière continue son trajet, il va ressortir de l’eau de l’autre côté. À cet endroit, on aurait un allongement de la composante normale, et le rayon est dévié un peu plus vers la droite. Il retrouverait alors une trajectoire parallèle à sa trajectoire initiale.

Et ce « $\epsilon$ » ?

Dans ce qui précède, il y a ce facteur $\frac{\epsilon_{air}}{\epsilon_{eau}}$ qui semble sorti de nulle part.

Au sein des équations de Maxwell, $\epsilon$ (« epsilon ») représente un paramètre qui dépend du milieu : la permittivité diélectrique relative du milieu. Ce paramètre traduit la résistance à la propagation d’un champ électrique de ce milieu.

Dans l’air, sa valeur est proche de celle du vide, soit 1. Dans l’eau, sa valeur est de 1,77. C’est ce paramètre qui est responsable du ralentissement de la lumière dans un matériau et de tout ce qui en découle : indice de réfraction, déviation…

On peut retrouver l’indice de réfraction de l’eau grâce à cette grandeur, ce n’est pas très compliqué.

Commençons par l’expression de l’indice de réfraction du milieu :

$$n_{eau} = \frac{c}{v_{eau}}$$

On a vu dans le précédent article que la vitesse de la lumière dans le vide, $c$, s’exprime en fonction de la perméabilité magnétique $\mu$ et la permittivité diélectrique $\epsilon$, dans le vide et dans l’eau de la même façon :

$$n_{eau} = \frac{\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}}{\frac{1}{\sqrt{\mu_{eau} \epsilon_{eau}}}}$$

En réarrangeant :

$$n_{eau} = \sqrt{\frac{\mu_{eau} \epsilon_{eau}}{\mu_0 \epsilon_0}}$$

Le terme $\mu_0$ et $\mu_{eau}$ sont les perméabilités magnétiques du vide et de l’eau et sont pratiquement égales entre elles. On peut donc les ignorer. On tombe alors sur la relation suivante :

$$n_{eau} = \sqrt{\frac{\epsilon_{eau}}{\epsilon_0}}$$

Où :

  • $\epsilon_{eau}$ est la permittivité diélectrique de l’eau. Comme dit plus haut, sa valeur relativement au vide est 1,77.
  • $\epsilon_0$ est la permittivité diélectrique relative du vide : qui vaut simplement 1.

D’où on a enfin : $n_{eau} = \sqrt{\frac{1,77}{1}} \approx 1,33$

Cette valeur 1,33 correspond bien à l’indice de réfraction de l’eau.
De plus, en appliquant un peu de trigonométrie sur E', E't et E'n, on retrouve les lois de Descartes : $n_{air}\cdot sin(\theta_1) = n_{eau}\cdot sin(\theta_2)$.

On a donc montré que la direction du rayon transmis dans l’eau (déterminé par $\theta_2$) change, et l’importance du changement de direction est directement lié à $n$ et donc à la permittivité diélectrique de l’eau $\epsilon_{eau}$.

Conclusion

Ce qui importe ici c’est d’avoir compris deux choses.

Premièrement, la lumière ne part pas d’un point A pour se rendre à un point B. Elle part d’un point A, et sa trajectoire passe par le point B. C’est tout.

C’est une question de formulation. Cette seconde formulation me semble préférable, car elle évite l’ambiguïté qui pousse à penser que la lumière serait capable de choisir une trajectoire optimisée en fonction de son point de départ et son point d’arrivée. De plus, le « point d’arrivé » n’existe pas en fait : la lumière se forme puis elle avance sans savoir où elle va.

Ceci pour enfoncer le clou à l’idée selon laquelle la lumière « choisit » la trajectoire la moins fatigante (en référence au principe de Fermat et au principe de moindre action). Le principe de Fermat est juste : le trajet pris par la lumière est le plus rapide, mais ce n’est pas ça qui fait que la lumière l’emprunte.

Il ne faut pas inverser les choses : l’équation est venue après le phénomène physique, pas avant. Le phénomène physique c’est « la lumière progresse et emprunte certains trajets préférentiellement à d’autres ». L’équation ne fait que décrire ce trajet, à la fois qualitativement (« c’est le trajet le plus rapide ») et quantitativement (en décrivant sa trajectoire en termes d’angles et de grandeurs physiques).

Si le principe de Fermat est vrai, c’est juste parce que la nature tend à distribuer l’énergie de façon la plus uniforme possible, qui est une façon de dire que les différents systèmes vont tous tendre vers leur état le plus stable possible. Pour la lumière, ça consiste à emprunter le chemin le plus rapide dans le temps. C’est ça la vraie raison.

Secondement, pour ce qui est de l’origine de l’angle de réfraction, de la raison pour laquelle la lumière se courbe en passant d’un milieu transparent à un autre, c’est une question qu’il est possible de répondre grâce à la théorie de Maxwell.
Si j’avais à la résumer en une phrase, je dirais que « la composante normale [perpendiculaire] du champ électrique est la seule à être réduite — par un facteur $\epsilon$, propre au milieu — alors que la composante tangentielle n’est pas altérée ».

Pour aller plus loin

J’ai dit plus haut que l’indice de réfraction (l’angle de déviation) dépendait du milieu et en particulier de sa permittivité diélectrique. Cette permittivité est propre au milieu, mais il y en a une pour chaque fréquence d’onde électromagnétique.
Ainsi, selon la fréquence d’une onde, cette dernière est plus ou moins réfractée. Certaines ondes peuvent même être réfractées vers l’extérieur (réfléchies, donc).

Concernant le visible, l’eau par exemple, réfracte davantage la lumière bleue que le rouge. Une lumière blanche qui arrive sur une goutte d’eau voit donc le bleu très dévié, le vert/jaune dévié et le rouge peu dévié. Chaque couleur composant la lumière blanche suit alors sa propre trajectoire : la lumière blanche est décomposée. C’est comme ça que naissent les arcs-en-ciel !

Enfin, quand la lumière passe d’un milieu à autre mais que les indices de réfraction de ces milieux sont les mêmes, alors l’onde lumineuse n’est pas déviée. Quand c’est le cas, il est très difficile de distinguer l’interface entre les deux milieux. Pour le dire autrement, les deux milieux, bien que distincts, semblent ne faire qu’un.
C’est ce que l’on observe avec les billes de polymère super-absorbants que l’on plonge dans l’eau : la lumière n’étant pas déviée, les billes semblent fondre dans l’eau.

Ressources

Image d’en-tête : travail personnel.

5 commentaires

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Cyril. V wrote:

Bonjour,

Merci beaucoup pour cet article et pour votre blog en général. Toujours un plaisir de lire les nouveaux articles.

J'ai deux questions :
-quand vous dites "parce que la nature fonctionne de façon à minimiser les interactions et surtout à tendre vers un état d’énergie le plus bas possible", cela revient à dire implicitement que la nature "cherche" à minimiser les interactions. Comment le fait-elle ?

- concernant l'angle de déviation de la lumière, vous dites "Cette permittivité est propre au milieu, mais il y en a une pour chaque fréquence d’onde électromagnétique ".
Comment intégrer la longueur d'onde dans votre calcul fait plus haut sur l'indice de réfraction ?

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Le Hollandais Volant wrote:

@Cyril. V : effectivement, cette formulation laisse penser que la lumière ne "pense" pas pour choisir son angle, mais "pense" pour choisir le chemin le plus direct. J’ai reformulé en disant que la nature tendait à distribuer l’énergie de la façon la plus uniforme possible dans l’espace (ce qui revient au second principe de la thermo : celui de l’entropie).

Imagines que tu remplisses une bassine avec de l’eau. Qu’ensuite, tu secoues la bassine brièvement, et enfin tu figes le temps. Tu vois alors la surface de l’eau qui n’est pas plate, mais faite de creux et de bosses. Les molécules dans les bosses ont plus d’énergie potentielle que celles dans les creux.
Maintenant, si tu actionne le temps, tu vas voir les bosses et les creux peu à peu s’estomper et la surface devenir plane.
Ce qui s’est passé, c’est que l’eau avec beaucoup d’énergie potentielle a partagé son énergie avec l’eau qui en avait moins, et au final chaque molécule sur la surface possède autant d’énergie (toutes sont à la même hauteur). C’est ça que je veux dire par « la distribution de l’énergie tend à être la plus uniforme possible ».

On observe ça partout : si on laisse une montagne s’éroder, les pierres tendent à tomber vers le bas, et peu à peu les vallées sont comblées et les montagnes effacées. Chimiquement, c’est ce qui se passe dans une pile : le pôle avec un fort potentiel électrique attire les électrons de l’autre pôle et les potentiels s’équilibrent (et quand ça arrive, la pile est « vide »). Même chose avec des vases communicants, ou des volumes d’eau à température différente qui vont peu à peu s’échanger de la chaleur et finir toutes deux à une température unique.

Comment intégrer la longueur d'onde dans votre calcul fait plus haut sur l'indice de réfraction ?

Quand un milieu transparent montre une grande différence d’indice en fonction des longueurs d’onde, on parle d’une forte dispersion, et quand l’indice varie peu, on parle d’une faible dispersion. Le phénomène s’appelle donc la dispersion, et la grandeur associée est appelée constringence.

Généralement, on utilise des valeurs tabulées pour obtenir l’indice de réfraction en fonction de la longueur d’onde que l’on souhaite, ou alors la relation de Cauchy, qui donne notre indice en fonction de la longueur d’onde, mais ça sera toujours à partir de grandeurs empiriques propres au milieu.

Donc si tu veux calculer $n$ pour 3 longueurs d’ondes, tu devras calculer $n$ trois fois.

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Youssef wrote:

Bonjour Cher Hollandais Volant,

Très bon article, très instructif. J'apprends énormément de choses.

Hâte pour le prochain article (ne tardez pas svp lol).

Bonne journée à vous, et à tous les lecteurs !

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Juju wrote:

Toujours très instructif.
"On peut retrouver l’indice de réfraction de l’eau grâce à cette randeur, ce n’est pas très compliqué"
Il doit manquer "l'accélération de la pesanteur": g ?.... ;)


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