La feuille de papier A4 est quelque chose de banal. On en voit tous les jours à tel point que ce format semble naturel et personne ne viendrait questionner son origine. Et c’est une erreur !
Le format A4 ne sort pas de nulle part : ses dimensions sont très précises et répondent à un but précis.
29,7 ÷ 21 = 1,414
Si vous êtes comme moi, peut-être avez-vous déjà, par curiosité, calculé le rapport 29,7/21. Le résultat n’est pas le nombre d’or, mais plutôt quelque chose comme 1,414.
À partir de ça, soit vous voyez tout de suite à quoi ça correspond, soit pas du tout : 1,414, c’est la valeur approchée de $\sqrt{2}$, la racine carrée de 2.
La racine carrée d’un nombre, c’est la valeur qui multipliée par elle-même donne ce nombre. Inversement, prendre un nombre et le diviser par sa racine carrée donne de nouveau la racine carrée en résultat :
$$\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{1}$$
Ce que cela implique pour une feuille de papier que l’on plie en deux, c’est que le rapport des longueurs des côtés reste le même.
Quand on plie la feuille, le petit côté avant le pliage devient le grand côté après. La racine carrée de 2 de l’équation précédente passe du dénominateur au numérateur, mais de façon remarquable, elle est toujours là. L’autre côté, celui que l’on plie, passe donc de 2 à 1 (que l’on retrouve également dans l’équation).
Le rapport avec le format de papier ?
Et bien quand on plie en deux une feuille dont le rapport des longueurs des côtés est $\sqrt{2}$, alors le rapport des côtés des longueurs de la feuille pliée en deux est de nouveau $\sqrt{2}$. On peut plier ça en deux une nouvelle fois, ou deux, ou trois fois, le rapport est toujours le même !
Contrairement à une feuille carrée, ou une feuille dont le rapport est le nombre d’or par exemple, le rapport des côtés d’une feuille A4, A5, A6… est toujours le même : $\sqrt{2}$ !
C’est très pratique !
Cela permet par exemple de faire tenir deux pages A4 dans une page A3, ou encore deux pages A5 dans une page A4. Quand on fait des réductions ou des agrandissements d’images, ça permet de conserver les proportions sur toute la page, sans zone blanche.
Un format dont le facteur de forme est $\sqrt{2}$ est le seul à avoir cette particularité. Avec un tel format, on peut plier la page autant de fois que l’on souhaite, le format ne changera pas :
Cette propriété aurait déjà été connue de Léonard de Vinci.
Mais pourquoi 21×29,7 ?
On comprend l’intérêt mathématique d’un ratio de $\sqrt{2}$ , mais ça n’explique pas pourquoi on a pris 21 et 29,7 cm pour une feuille. On aurait pu prendre 24 et 33,9, le rapport serait toujours 1,414. En fait, le format A4 est la moitié du format A3. Qui est lui-même une moitié de page A2. Le A2 est la moitié du format A1, et ce dernier est un demi A0. Le vrai format de base, c’est A0.
Les dimensions d’une page A0 sont 84,1 × 118,9 cm. Si vous calculez l’aire d’une telle page vous obtiendrez… 1 m² !
Le format « A » est basé sur ça : on a pris une page dont l’aire fait exactement 1 m² et dont les proportions sont $\sqrt{2}$. On a ensuite plié en deux jusqu’à obtenir une taille pratique au quotidien : c’est le format A4.
C’est le mathématicien, physicien et homme politique Lazare Carnot qui a proposé, en 1786, l’usage d’un format pratique et d’une dimension qui permette de facilement calculer la surface de papier utilisée… et donc sa taxation !
L’usage d’une base « A0 » qui fait exactement 1 m² provient, elle, de la révolution française, en même temps que le système métrique.
L’idée, née de la révolution Française et consécutive à l’instauration du système métrique (français également), fit son chemin jusqu’en Allemagne, où l’organisme de standardisation allemand (le DIN) proposa de l’utiliser comme format standard dès 1922. Un très grand nombre de pays suivirent rapidement cette idée.
L’ISO adopta ensuite ce format dans l’ISO 216 et en 1975, l’ONU l’adopta à son tour.
Aujourd’hui, à l’exception des pays de l’Amérique du nord et de quelques autres pays, il est utilisé dans pratiquement tous les pays du monde.
B4 et C4 ?
En plus du format A, il existe aussi le format « B » et « C ». Ces derniers ont également le même facteur de forme de $\sqrt{2}$, mais ils sont juste un brin plus grand. Le format B est obtenue en prenant une feuille B0 dont le petit côté fait 1 mètre et donc le grand côté 1,414 mètre.
Le format C est lui exactement entre le format A et B.
De même, le format est B4 et C4 sont obtenus en pliant les feuilles B0 et C0 en deux quatre fois de suite, respectivement.
Conséquences pratiques
On a vu au dessus que ces formats ont la particularité d’avoir des proportions maintenues si l’on plie la page en deux. Mais ce n’est pas tout.
Si l’on prend le grammage du papier le plus courant, soit 80 g/m², alors une page A0 pèse exactement 80 grammes. Si l’on descend jusqu’au format A4, on trouve que la feuille A4 pèse exactement 1/16e de 80 grammes, soit 5 grammes.
À la Poste, on peut donc envoyer trois pages avec le tarif de base dans une petite enveloppe (il ne faut pas oublier le poids de l’enveloppe). C’est pratique et c’est facile à se rappeler.
De même, si vous avez besoin de savoir, une ramette de 500 feuilles de papier à 80 g/m² pèse 2 500 grammes. Et quatre ramettes pèsent 10 kg. Cela peut servir de référence de poids lorsqu’on n’a rien d’autre.
Références
- ISO 216 - Wikipedia
- Loi sur le Timbre (en)
- Loi sur le Timbre (fr)
- Lichtenberg’s letter to Johann Beckmann
Voir aussi :
- Paper sizes, un site qui recense les différents formats de papier à travers le monde et permet de les comparer visuellement (merci Alexis pour ce lien !).
(Cet article a initialement été publié sur Le Hollandais Volant en 2011. J’ai décidé de mettre à jour et de le déplacer ici)
