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Les fonctions trigonométriques sont apprises dès le collège : cosinus, sinus et tangente respectivement notées $cos(x)$, $sin(x)$ et $tan(x)$.
À l’école ce sont juste des fonctions un peu marrante qui ressemblent à des vagues :

sinus et cosinus

Mais savez-vous d’où viennent ces fonctions ?

Le cercle de rayon 1

Pour savoir d’où viennent les fonctions trigonométriques on va devoir dessiner un cercle de rayon 1 :

cercle unitaire
En rouge j’ai placé son rayon.

Maintenant une question : quelle est la valeur de l’angle formé par le rayon rouge et l’axe horizontal ? Vous n’avez droit qu’à une règle, pas de rapporteur d’angles.

La solution consiste à mesurer les longueurs des projections du rayon sur l’axe des abscisses et des ordonnées :

cercle unitaire cos sin
On obtient deux segments, ici en violet et en vert.

Sinus et Cosinus

Sur l’image précédente, les deux segments portent un nom : celui en violet correspond au sinus (de l’angle) et celui en vert est son homologue sur l’axe des abscisses : le cosinus (co-sinus).

Vous imaginez que si on change l’angle, alors les sinus et cosinus vont également changer.
En fait, à chaque angle entre 0° et 360° correspond un couple de nombres [sinus, cosinus] unique.

Sur cet exemple, on mesure à la règle :

  • sinus : 0,61
  • cosinus : 0,77

Or, l’angle qui correspond à ça est un angle de 37,6 degrés.
Le sinus et le cosinus permettent donc de calculer un angle simplement avec un règle graduée. À l’inverse, à partir d’un angle, on peut aussi calculer les valeurs de son sinus et son cosinus.

Ces deux nombres ne sont pas les seuls que l’on trouve dans un cercle unitaire, loin de là !

Tangente et Cotangente

Je suis sûr que tout le monde connait la tangente (notée $tan(x)$). Par contre, la cotangente (cotée $cot(x)$ ou $cotan(x)$) est moins connue. Ces nombres vont également de paire.

Ils ne se trouvent plus sur le rayon du cercle mais sur la tangente au cercle passant par notre point formé par l’angle et sur le cercle (d’où le nom de tangente) :

cotangente et tangente

Sécante et Cosécante

Beaucoup moins connues : la sécante (notée $sec(x)$) et la cosécante (notée $csc(x)$). Idem, ces nombres vont là aussi de paire. Ce sont un peu les équivalents de sinus et cosinus, mais se prolongent à l’extérieur du cercle jusqu’à l’intersection avec la tangente :

secante et cosecante

Les autres fonctions

En plus de sinus, tangente, sécante, cosinus, cotangente et cosécante il y a d’autres fonctions.

On trouve ainsi :

Les fonctions "verse" :

  • le sinus verse (noté $versin(x)$), qui est dans le cercle à côté du cosinus et qui représente la partie manquante au cosinus pour arriver au rayon.
  • le cosinus verse (noté $cvs(x)$), qui est similaire au sinus verse, mais sur l’axe des ordonnées).

Les fonctions "ex" :

  • l’exsecante (notée $exsec(x)$), qui correspond à la partie de la sécante qui est à l’extérieur du cercle ;
  • l’excosécante (notée $excsc(x)$), qui est la même chose mais pour la cosécante.

Si on représente tout ça, on obtient ceci :

toutes les fonctions trigonométriques

Vous pouvez vous amuser avec toutes ces fonctions dans cet outil que je vous ait fait : Les fonctions Trigonométriques.

Relations entre toutes ces fonctions

Toutes ces fonctions sont liées. En dépendent toutes du cercle unitaire et de l’angle que l’on place dedans.
Je ne vais pas tout détailler : certaines relations sont simples à deviner, par exemple on voit tout de suite que l’on a :

  • $cos(x) + versin(x) = 1$
  • $cos(x) + versin(x) + exsec(x) = sec(x)$

Ces relations sont présentes mais ne servent pas à grand chose.
Il y a une relation, en revanche, qui est très connue et plus utile : $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$.

D’où vient cette relation ? En fait, c’est très simple à voir : c’est le théorème de Pythagore appliqué au cercle unitaire sur le triangle formé par le rayon et les axes du graphique :

pythagore sur le cercle unitaire
Par projection, l’angle en bas est un angle droit et on applique alors le théorème de Pythagore, d’où la relation.

Ceci est également la raison pour laquelle on retrouve la trigonométrie dans les triangles : implicitement, le triangle possède divers cercles qui lui sont associés (cercle circonscrit, cercle inscrit…) et auxquels on peut appliquer la trigonométrie.
« trigonométrie » vient d’ailleurs du grec avec « tri » (trois) et « gono » (angle) : la trigonométrie est donc également très liée aux triangles, en plus des cercles.

Les fonctions inverse

La fonction sinus appliquée à un angle donne le sinus de cet angle. Ainsi on a par exemple $sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$.

La fonction inverse du sinus est la fonction qui donne un angle à partir du sinus. Cette fonction se nomme arcsinus (notée $arcsin(x)$ ou $asin(x)$, ou même parfois $sin^{-1}(x)$).

On a donc $arcsin(\frac{1}{2}) = 30^{\circ}$.

De même, il existe les fonctions arccosinus et arctangente.

Les Radians

Le nom de la fonction arcsinus vient du fait qu’à partir du sinus on obtient un arc (en rouge) sur le cercle trigonométrique :

arc de cercle
Cet arc est une portion du périmètre du cercle, dont la longueur dépend directement de l’angle.
Si l’angle fait 60°, et vu que le tour complet du cercle faire 360°, alors l’angle fait 1/6 du cercle. L’arc de cercle mesure donc 1/6 du périmètre, soit 1/6 de $2\pi$. Or, 1/6 de $2\pi$, ça fait aussi $\frac{\pi}{3}$.

On remarque que l’on peut donc mesurer un angle en utilisant la portion du périmètre qu’il représente sur un cercle unitaire. Cette unité d’angle est appelée le radian.

Le périmètre du cercle complet étant $2\pi$, un angle de $2\pi \text{ rad}$ correspond à 360°.
De même, $\pi \text{ rad}$ correspond donc à 180° (la moitié de $2\pi \text{ rad}$). Un angle de 90°, c’est alors $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$, et ainsi de suite.

En général, on ne calcule pas la valeur numérique des radiants ($2\pi$ vaut environ 6,28). On conserve la notation exacte avec $\pi$. C’est pour ça qu’on trouve souvent $\pi$ dans les angles ou associés aux fonctions trigonométriques ($sin(\pi)$, par exemple).

Le radian, contrairement aux degrés et aux autres unités d’angles, est l’unité légale de mesure des angles.

La trigonométrie hyperbolique

Pour expliquer l’origine des fonctions trigonométriques, je suis parti d’un cercle de rayon 1 (un cercle unitaire). C’est normal : c’est de là que viennent les fonctions trigonométriques circulaires (sinus, cosinus…).

On peut partir d’une autre forme géométrique. Si on part d’une hyperbole, on obtient la trigonométrie hyperbolique :

hyperbole (une hyperbole)

Le principe est le même que pour le cercle : il suffit de prendre un point sur la courbe et son ordonnée correspond à son sinus hyperbolique (noté $sinh(x)$) et son abscisse correspond à son cosinus hyperbolique (noté $cosh(x)$). Les autres fonctions (tangente, etc.) existent là aussi, et les fonctions inverses également (argument sinus hyperbolique (noté $argsinh(x)$) et argument cosinus hyperbolique (noté $argcosh(x)$)).

À quoi tout ça sert-il ?

Les fonctions trigonométriques de base (sinus, cosinus, tangente) sont très utilisées un peu partout, y compris en physique.

Le sinus, par exemple, représente la hauteur (par rapport au centre) d’un point situé sur un cercle. Si ce cercle tourne, alors le point tournera avec lui, comme sur cette animation : si on fait défiler le cercle trigonométrique, on voit apparaitre les courbes « en vague » du sinus et du cosinus.

Or, des systèmes rotatifs, il y en a partout : les pales d’une hélice, les roues d’une voiture ou d’un vélo, l’axe d’un moteur, l’aimant dans une dynamo, la Terre qui tourne sur elle-même, la Terre qui tourne autour du Soleil…
De plus, les fonctions trigonométriques ressemblent à des vagues : les ondes et les vagues obéissent également à des fonctions sinusoïdales : ondes sonores, ondes électromagnétiques, etc.

Les fonctions trigonométriques se retrouvent donc un peu dans tous les domaines de la physique et de la science en général.

Comme les dérivées, donc, la trigonométrie non plus n’est pas juste un délire de matheux : elle a une origine géométrique basée sur un cercle (ou une hyperbole, dans le cas de la trigonométrie hyperbolique), et se retrouve donc dans tous les systèmes impliquant des cercles, des roues, des sphères en rotation.

9 commentaires

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man-x86 a dit :

Merci pour cet article.

Le dernier paragraphe me rappelle une devinette:
"Avec quoi mange-t'on de l'hypersoupe?"

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BibiSky51 a dit :
Cette fonction se nomme arcsinus (notée arcsin(x) ou asin(x), ou même parfois sin1(x)

Tu ne voulais pas dire sin-1(x) ?

En tout cas, je trouve tes explications très claires.
Si j'avais eu le droit à ça à l'école...

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John Does a dit :

Ahhh si j'avais 40 ans de moins !! Les jeunes se rendent-ils compte de la chance d'avoir Internet pour apprendre ?

sinon, une question : avec quel outil avez-vous tracé vos fonctions ?

Merci ;)


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