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modélisation du kilogramme
Cet article fait partie d’une série d’articles à l’occasion de la 26e CGPM (en 2018), à l’occasion de laquelle le kilogramme va être redéfini de façon historique :


À ce jour, parmi les 7 unités de base qui existent, le kilogramme est la seule à l’être à partir d’un objet matériel : un étalon en métal (un alliage de platine et d’iridium), conservé à côté de Paris et qui sert de référence du kilogramme au monde entier.

Cela fait plus d’un siècle que cet objet représente le kilogramme, et non sans poser quelques problèmes lié au temps : l’usure, l’unicité et le fait qu’il soit conservé en France et pas ailleurs constituent des problèmes d’ordre technique, pratique et politique.

J. C. Maxwell (1831 - 1879, physicien connu entre autres pour les équations de Maxwell en électromagnétisme) écrira :

« Même si le repère cylindrique du kilogramme est abrité dans un coffre spécial, dans des conditions contrôlées au BIPM, sa masse (théorique) peut dériver légèrement au fil des ans et il est sujet à des modifications de masse (théorique) en raison de la contamination, la perte de matériau de surface par nettoyage, ou d'autres effets. Une propriété de la nature est, par définition, toujours la même et peut en théorie être mesurée n'importe où, alors que le kilogramme au BIPM pourrait être endommagé ou détruit. »

À l’image du mètre, qui n’est plus défini à partir d’un morceau de métal mais à partir de la vitesse de la lumière, les métrologues cherchent depuis longtemps comment redéfinir le kilogramme pour ne plus avoir à dépendre d’un objet physique si fragile. Et il semble que l’on ait trouvé !

Si tout se passe bien, l’année 2018 (du 13 au 16 novembre, normalement) marquera l’année où le kilogramme deviendra, enfin, une unité dépendante seulement d’une constante physique intrinsèque de la nature.

Je referais un article plus détaillé sur la nécessité d’une telle redéfinition, ainsi que de la méthode générale utilisée pour définir une unité de mesure, mais voyons ici la méthode qui a été retenue. Vous allez voir, elle est astucieuse et ingénieuse, mais également très technique…

La nouvelle définition du kilogramme

On va utiliser le kilogramme « K » pour mesurer la constante de Planck (une constante utilisée en physique quantique), fixer la valeur de cette dernière, puis définir le kilogramme en fonction de la constante de Planck qu’on vient de fixer.

Cela peut sembler un serpent qui se mort la queue, mais ça ne l’est pas. En réalité, c’est plutôt un changement de référence.
Plutôt que d’avoir un kilogramme connu à partir de laquelle on définit la constante de Planck, on va chercher à fixer la constante à une valeur qui restera dès lors immuable, et à partir de laquelle on définira ce qu’on désigne par « le kilogramme ».

Ainsi, le kilogramme étalon en platine ne nous est plus d’aucune utilité.
Si l’on désire retrouver la masse d’un kilogramme, il suffit de prendre la constante de Planck et la balance de Kibble et de mesurer la masse d’un kilogramme.

Quant à la constante de Planck… C’est maintenant elle qui est la référence : on n’a plus besoin de la mesurer, c’est elle qui est la référence.
Et comme la constante de Planck est une constante fondamentale de la nature, elle ne changera pas : elle ne peut pas s’user, se détériorer ou se perdre.

Ci après, le fonctionnement de la balance de Kibble.

La balance de Kibble (ou balance de Watt)

Une balance de Kibble (ou anciennement la balance de Watt), comme toutes les balances permet de comparer deux forces. Pour une balances classiques, les deux forces sont deux poids :

  • le poids de l’objet que l’on cherche à peser ;
  • le poids de masses marquées, dont la masse est connue.

Quand la balance est à l’équilibre, alors l’objet dont on cherche la masse possède la même masse que la somme des masses marquées.

Avec une balance de Kibble, ce sont toujours deux forces qui sont mesurées, mais celle des masses marquées est remplacée par la force magnétique d’un électroaimant. Quand on place la masse inconnue sur la balance, cette dernière penche d’un côté. On fait alors passer un courant électrique dans l’électroaimant : le champ magnétique induit tire alors la balance du côté de l’électroaimant. En faisant varier l’intensité du courant jusqu’à obtenir un état d’équilibre, on peut retrouver la masse de l’objet que l’on cherche en fonction de l’intensité du courant, grâce à l’induction électromagnétique :

schéma d’une balance de Watt, ou balance de Kibble

Pour redéfinir le kilogramme, on fonctionne inversement : on va placer le kilogramme étalon sur la balance et on cherchera l’intensité qui équilibre la balance. À ce moment là, on saura quelle intensité permet d’obtenir un kilogramme de force sur la balance.
Mathématiquement, quand la balance est à l’équilibre, il y a une égalité entre entre le poids $P = mg$ et la force magnétique de la bobine $F = BLI$ :

$$m_kg = BLI$$

Soit, la masse du kilogramme exprimée :

$$m_k = \frac{BLI}{g}$$

Ceci est la version simplifiée, et en pratique, c’est plus compliqué.

La force de l’électroaimant dépend de plusieurs facteurs : de l’intensité du courant, bien-sûr, mais aussi de la longueur totale de fil dans la bobine et l’intensité du champ magnétique de l’aimant permanent. La mesure de ces deux dernière grandeurs est entachée d’incertitudes, mais on peut éliminer le besoin de les mesurer, à l’aide d’une seconde étape.

La seconde étape est de faire descendre l’électroaimant avec une vitesse connue au dessus de l’aimant. L’aimant va induire un courant dans la bobine et l’on va mesurer la tension électrique à ses bornes.

L’expression de la tension $U$ dépend de la vitesse de descente $v$, du champ magnétique $B$ et la longueur de la bobine $L$ :

$$U = vBL$$

En combinant cet équation avec la précédente, on obtient une expression de la masse indépendante de l’aimant et de la longueur de la bobine :

$$m_k = \frac{UI}{gv}$$

Il reste à mesurer l’intensité $I$ et la tension $U$ : une méthode ultra-précise est d’utiliser des composants à comportement quantique.

La tension $U$ peut être déterminée par une jonction de Josephson. Il s’agit de deux matériaux supraconducteurs séparés par de très fins isolants. Cette jonction voit apparaître une tension $U'$ quand elle est soumise à un champ électromagnétique :

$$U' = h\left(\frac{nf}{2e}\right)$$

Où :

  • $h$ est la constante de Planck
  • $n$ le nombre de jonction de Josephson empilés (donc mises en série)
  • $f$ la fréquence du champ électromagnétique
  • $e$ est la charge élémentaire.

En ajustant la fréquence, on peut égaliser la tension aux borne des jonctions avec la tension induite par l’aimant sur la bobine. On a alors $U' = U$.

L’intensité $I$ peut être mesurée par une simple loi d’Ohm. Donc plutôt que de mesurer l’intensité $I$, on va mesurer une tension et une résistance : $I = \frac{U}{R}$.
La tension $U$ est à nouveau mesurée par effet Josephson. Quant à la résistance $R$, elle est déterminée par effet Hall quantique (version quantique de l’effet Hall, qui est l’apparition d’une tension perpendiculaire au sens de passage d’un courant dans un conducteur, à cause de la réponse des charges électriques de ce conducteur au champ magnétique induit par ce courant) :

$$R = \frac{1}{p}\frac{h}{e^2}$$

Où :

  • $p$ est une constante connue dépendant de la balance
  • $h$ la constante de Planck
  • $e$ est la charge élémentaire

En prenant ces différentes équations, en replaçant les différentes variables successives et en réarrangeant les différents termes, on obtient une expression de la constante de Planck en fonction du kilogramme étalon :

$$h =\left(\frac{4}{pn^2} \frac{gv}{f^2}\right)m_k$$

$p$, $n$, $f$ sont connus.
$g$, $v$ sont mesurées (par interférométrie laser).
La masse $m_k$ est par définition de 1 kg. On vient donc de déterminer la constante de Planck à partir du kilogramme étalon.

Maintenant, on fixe la constante de Planck (cette valeur devient alors sa valeur définitive) et l’on peut exprimer le kilogramme en fonction de la constante de Planck :

$$m = h\left(\frac{f^2}{gv}\frac{pn^2}{4}\right)$$

Du coup on y est : on peut exprimer le kilogramme sur la balance en fonction de constantes physiques et de quelques instruments de mesures tous indépendants de la masse (vu que c’est ce qu’on l’on cherche) !

À partir de maintenant, on n’a plus besoin de l’étalon du kilogramme. Si l’on désire savoir combien pèse un objet, on le met sur la balance, on effectue les mesures et c’est la valeur de la constante de Planck qu’on utiliser dans les calculs pour déterminer la masse. C’est la constante de Planck qui devient la référence et qui permet de calculer n’importe quelle masse.

La nouvelle définition du kilogramme

Avant, le kilogramme était défini comme la valeur de la masse du prototype international du kilogramme, stocké à Paris. La nouvelle définition proposée et qui devrait être accepté par le CGPM est :

Le kilogramme, kg, est l'unité de masse ; sa valeur est définie en fixant la valeur numérique de la constante de Planck à exactement 6,626 06 ×10⁻³⁴ quand elle est exprimée en s⁻¹⋅m²⋅kg, ce qui correspond à des J⋅s.

Ce qui, il faut l’avouer, est une définition davantage mathématique que littéraire. D’ailleurs, les définitions officielles de toutes les unités sont modifiées pour suivre le même schéma, marquant l’emphase sur le fait que l’unité dépend de la constante physique.

Tout ce qui reste à faire si l’on veut étalonner une masse, c’est utiliser une balance de Kibble, faire ses mesures et prendre la valeur de 6,626 06 ×10⁻³⁴ pour la constante de Planck. Ce qui est plus rapidement dit que fait…

Quelques limites à cette nouvelle approche

On peut s’en douter à lire cet article : autant un étalon en platine est un objet simple, autant une balance de Kibble est un objet très complexe.
Il faut des composants à la pointe de la technologie, être dans une région sans influence extérieure (radio, magnétique et même des séismes !) et il faut même aller jusqu’à cartographier l’accélération de la pesanteur de la pièce où se trouve la balance.

À tel point, d’ailleurs, que seuls certains pays disposent de la technologie pour les fabriquer et les opérer. D’un point de vu politique et social, ceci peut également être une source de problèmes.

Sur le plan technique, il existe la difficulté d’opérer un tel protocole de mesure : la précision des mesures est telle que deux masses qu’on supposerait identique mais en métaux différents seront vue différemment par la balance ! En effet, le métal le moins dense occupera un volume plus important et son centre de masse sera un peu plus haut. Ceci implique une différence dans la valeur du champ de pesanteur (chose que je mets en évidence dans mon article sur le kilo de plumes et le kilo de plomb).

image d’en-tête de Greg L.

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Le Hollandais Volant wrote:

Cet article a été écrit suite à mon invitation (avec un petit groupe d’autres blogueurs, podcasteurs) de la part du Musée des Arts et Métiers. Le musée a ouvert une exposition temporaire sur la mesure et la métrologie à l’occasion de la redéfinition historique du kilogramme. : « sur mesure, les 7 unités du monde ». J’ai pu assister à une visite guidée de l’exposition, présentée par le commissaire de l’exposition (M. Jacomy) et la directrice scientifique du LNE, le laboratoire national de métrologie et d’essai (Mme Chambon).

C’est donc naturellement que je vous invite à aller voir cette exposition : vous y découvrirez, entre autre choses, l’histoire de la mesure à travers les âges et le monde, pourquoi on utilise 7 unités, comment on les définit et de l’importance d’une standardisation des unités à l’échelle internationale, au travers d’anecdotes et d’exemples historiques.

Sur mesure, les 7 unités du monde
du 16 octobre 2018 au 5 mai 2019 au musée des Arts et Métiers
60, rue Réaumur – Paris 3e

Horaires d’ouverture : du mardi au dimanche de 10h à 18h, nocturne le jeudi jusqu’à 21h30
Exposition en français et en anglais

(site web)
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Le-Gritche wrote:

Article très intéressant, merci !

En effet, le métal le moins dense occupera un volume plus faible et son centre de masse sera un peu plus haut.

J'aurais dit un volume plus important, non ?

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Pouf wrote:

Bonjour.

Merci pour cet article (trop technique pour mais néanmoins) très intéressant.

J'aimerais avoir une précision : pourquoi avoir gardé le kilogramme comme unité, et non pas le gramme ?

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Le Hollandais Volant wrote:

@Pouf : ça avait dû être le gramme, en 1791.

Sauf qu'il a été décidé plus tard que l'unité de référence soit égale à la masse d'un litre d'eau à 4 degrés, et pas un millilitre (1 g d'eau).
Ceci aussi pour avoir une unité proche, en ordre de grandeur, à celle de la livre utilisée par ailleurs (pour laquelle j'ai aussi un article).

De plus le premier étalon de masse était un kilogramme : le "kilogramme des archives".

Du coup ils ont conservé la quantité du kilogramme et n'ont pas changé le nom.

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Pouf wrote:

Ah, très bien.

J'aurais pensé que quitte à redéfinir l'unité pour coller aux autres standards, ils auraient pu passer au gramme…

Merci.

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Le Hollandais Volant wrote:

@Pouf : J’avoue que ça aurait été logique, même si pas pratique sur le court terme.

M’enfin, c’est un détail dû à l’histoire, qui feront dire aux générations futures « mais ils étaient complètement fou ! » :). Penser à ça m’amuse, en un sens.

Je pense qu’à un moment, dans un futur lointain (si on survit jusqu’à là) on passera aux unités naturelles : https://couleur-science.eu/?d=f97dfa--les-avantages-dun-systeme-dunites-naturelles

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Adnx wrote:

Article très exhaustifs 👏👏👏.
Une question: pourquoi ne pas avoir fait plus simple et pris comme référence le nombre de molécules d'H2O dans 1 dm3 d'eau à 4°C?

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Le Hollandais Volant wrote:

@Adnx : D’un point de vue technique, c’est une question de précision de mesure.
Avec la méthode de la balance de Kibble, on peut atteindre une précision bien plus grande qu’en comptant le nombre de molécules d’eau.

L’incertitude sur les molécules d’eau est lié à la fois :
– à 1 dm3 : il existe une incertitude sur la longueur du décimètre. Donc sur un dm3, cette incertitude est également au cube.
– à la température : tu as aussi une incertitude relative à la température (surtout que l’eau a une densité maximale à 3,98 °C, et pas 4 °C ;)).
– à la composition de l’eau : une molécule d’eau sur 6 400 possède un neutron en trop sur l’hydrogène : c’est un isotope d’hydrogène, le deutérium qui se trouve dans la molécule. On parle alors d’eau lourde.
– et puis il faut tenir compte de la poussée d’Archimède du volume d’eau dans l’air (l’air est un fluide) car on ne peut pas travailler dans le vide : l’eau bout dans le vide, même à 4 °C. Chose qui dépend de la pression atmosphérique, etc.

Avec tout ça, l’incertitude de la méthode basée sur l’eau est plus grande qu’avec une balance de Kibble (c’est un des critère d’acceptation d’une nouvelle méthode : la nouvelle se doit d’être plus précise).
Je n’ai pas les valeurs en tête, mais on parle d’une précision de l’ordre de 1 sur 1 000 000 000, donc une précision de l’ordre du microgramme pour un kilogramme (alors qu’avec la méthode basée sur un 1 dm d’eau, on serait par exemple de l’ordre du milligramme ; et la méthode basée sur l’étalon en platine, on est précis à raison d’une cinquantaine de microgrammes).

D’un point de vu historique… le kilogramme est déjà représentatif de la masse d’un litre (ou 1 dm³) d’eau.

Le mètre fait cette longueur car c’est à l’origine une fraction du périmètre terrestre. Pour l’unité de masse, ils hésitaient (à l’époque de la révolution française — oui, ce sont les français qui ont initié le système métrique^^) entre la masse d’un mètre cube d’eau, d’un dm³ d’eau et un cm³ d’eau.
Ils ont pris le cm³ d’eau, comme étant la masse correspondant à 1 gramme.

Ils ont alors construit un étalon de masse… sauf que ce dernier (probablement pour des raisons pratiques) faisait 1 000 grammes. Ce « kilogramme » est ensuite resté et c’est finalement le kg qui est devenu l’unité.

Tout ça pour dire qu’à la base, le kilogramme et le mètre sont liées (par l’intermédiaire de l’eau). On peut argumenter que revenir à une telle situation serait un retour en arrière.

Mais la vraie raison est que c’est moins précis.

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Orionik wrote:

Bonjour,

p est une constante connue dépendant de la balance

Je me demandais de quoi cette constante dépendait exactement ?

Sinon, super article 👏

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Mathieu wrote:

@Le Hollandais Volant il s'agit du facteur de remplissage, un terme quantique.

Du coup, p dépend de la balance ou bien c'est une constante physique ?

Merci pour cet article.

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Le Hollandais Volant wrote:

@Mathieu : Ce n’est pas uns constante physique, elle dépend de comment on se sert de la balance.

Ce facteur intervient dans l’effet Hall quantique.

L’effet Hall, comme décrit, c’est l’apparition d’une tension sur un conducteur dont l’orientation se fait perpendiculairement au passage du courant. Donc si ton courant passe dans une place de métal selon l’axe nord-sud, l’effet Hall produira une petite tension dans la direction est-ouest.

L’effet Hall quantique, c’est l’effet analogue, mais au niveau quantique. En simplifiant, en jouant sur l’intensité du champ magnétique extérieur, la tension croît par paliers et non plus de façon continue : l’accroissement est donc "quantifié".
Pour rappel, la tension est ce qui permet aux électrons de circuler. Ici, on peut voir les électrons passer au compte goutte, mais de façon quantifiée : si une tension est présente mais pas suffisante, le premier électron ne circule pas, et il ne peut pas y avoir de « demi-électron » qui circule. Le premier électron se met en déplacement qu’à partir d’un seuil de tension.

Plus la tension de Hall (contrôlée par le champ magnétique extérieur), plus il y a d’électrons qui passent, et donc plus le courant de Hall monte aussi.
Je ne veux pas dire de conneries, mais en un sens, on pourrait dire que ce terme décrit le nombre d’électrons qui circulent par effet Hall.

Le facteur de remplissage est juste ce « palier » : p=1 pour le premier palier, 2 pour le second, 3 pour le suivant, etc.

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On peut le voir comme si tu allais acheter des croissants : si le croissant coûte 1€50, et que tu donnes 1€70, alors tu auras 1 croissant. Les 0,20€ restants seront inutiles. Si tu donnes 4€00, tu auras 2 croissants.
Que tu donnes 3€00, 3€01, 3€10, 3€98 ou encore 4€48, tu recevras toujours que 2 croissants.

Autrement dit, entre 3€00 et 4€49, tu n’as pas à être précis avec la monnaie : le nombre de croissants que tu auras sera toujours de 2.

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Ici, ce ne sont pas des croissants mais des électrons. Et la monnaie est le champ magnétique.
Tu n’as donc ici pas besoin d’être très précis avec le champ magnétique : il suffit de te trouver entre deux paliers, et le nombre d’électrons qui passent est toujours égale à celui de la base du palier.

C’est pour ça que l’Effet Hall quantique est si intéressant : produire un champ magnétique précis est compliqué et entaché de beaucoup d’incertitudes. Ces incertitudes se retrouvent dans la mesure de $I$ et de $U$, et donc finalement dans la valeur de $m$. Mais si on utilise une résistance à effet Hall, alors le nombre d’électron est précisément connu même si le champ magnétique est approximatif. On exclue donc une incertitude, ce qui, ici, est crucial.

C’est parce qu’on utilise un phénomène quantifié pour mesurer $h$ et le Kilogramme qu’on entend parfois que « le kilogramme devient quantique ». C’est juste pour ça.


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